Twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej

W topologii algebraicznej twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej mówi, że dowolne przekształcenie ciągłe między realizacjami kompleksów symplicjalnych da się dobrze przybliżyć przez odwzorowanie symplicjalne.

Definicje

Gwiazdą wokół wierzchołka dla danego wierzchołka $s$ kompleksu symplicjalnego $K$ nazywamy podkompleks składający się z wszystkich simpleksów $K,$ które zawierają wierzchołek $s.$ Gwiazdę wokół wierzchołka $s$ oznaczamy $St(s).$

Aproksymajcą symplicjalną funkcji ciągłej $g\colon |K|\to |L|$ nazywamy takie odwzorowanie symplicjalne $f\colon K\to L$ (tj. takie, odwzorowanie wierzchołków $f\colon K\to L.$ że jeśli sympleks $\sigma \in K$ jest sympleksem to $f(\sigma )$ jest sympleksem w $L$), że spełniony jest następujący warunek:

$\forall v:g(St(v))\subset St(f(v)).$

Treść twierdzenia

Niech $K$ będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, a $f\colon |K|\to |L|$ odwzorowaniem ciągłym. Wówczas istnieje takie $n\geqslant 0$ oraz odwzorowanie symplicjalne $g\colon K^{(n)}\to L$ będące aproksymacją symplicjalną $f,$ gdzie $K^{(n)}$ jest $n$-tym podziałem barycentrycznym kompleksu $K.$

Zastosowania

Jeśli $K$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze $n,$ a $L$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze $m$ oraz $n<m,$ to z twierdzenia o aproksymacji symplicjalnej wynika, że dla dowolnej ciągłej funkcji $f\colon |K|\to |L|$ istnieje homotopijne z nią odwzorowanie $g,$ które nie jest suriekcją. W szczególności, wszystkie funkcje ciągłe $\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{m}$ dla $n<m$ są nieistotne (tj. homotopijne z odwzorowaniem stałym), bo ich obraz zawiera się w pewnej sferze z wyjętym punktem, a ta jest ściągalna.

Bibliografia

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.brak strony w książce
• Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999. ISBN 0-226-51183-9.brak strony w książce
• Marian Mrozek: Topologia. 2012. s. 84 5.3.7 Aproksymacja symplicjalna. [dostęp 2019-01-24].
• Roman Duda: Wprowadzenie do Topologii. Część I. Topologia ogólna. PWN, 1986.brak strony w książce