Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych

Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

TwierdzenieEdytuj

Niech ciągi   oraz   liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności:

  i  

lub

  i  

Wówczas prawdziwe są nierówności:

 

gdzie   jest dowolną permutacją ciągu  

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

DowódEdytuj

Dowód twierdzenia korzysta z zasady indukcji matematycznej. Wpierw udowodnimy pierwszą nierówność.

Twierdzenie jest niewątpliwie prawdziwe dla n=1, ponieważ jest tylko jedna permutacja ciągu jednoelementowego, wobec czego:

 

Udowodnijmy zatem że dla dowolnego naturalnego n i dwóch ciągów rzeczywistych     spełniających założenia prawdziwym jest, że jeśli zachodzi:

 

to zachodzi również:

 

gdzie   jest permutacją   a   permutacją  

Dla   jest to oczywiste, ponieważ można ją uzyskać poprzez obustronne dodanie wyrażenia   w tezie indukcyjnej.

W przeciwnym wypadku istnieją takie liczby naturalne   i   nie większe niż   że dla pewnych permutacji:

 

a zgodnie z założeniami

 
 

więc:

 

z czego

 

więc oczywiście

 

Co kończy dowód pierwszej nierówności. Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu