Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych

Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

TwierdzenieEdytuj

Niech ciągi   oraz   liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności:


  i  

lub

  i  

Wówczas prawdziwe są nierówności:

 

gdzie   jest dowolną permutacją ciągu  

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

DowódEdytuj

W pierwszej kolejności sformułujmy tezę poprawniej.

TwierdzenieEdytuj

Niech     będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości   i niech   będzie permutacją na zbiorze   Wówczas

 

Skupimy się na pierwszej z nierówności, gdyż druga już z niej wynika dość łatwo. Dowód będzie indukcyjny

Oczywiście dla ciągów o długości jeden teza jest oczywista.

Załóżmy zatem, że dowodzona nierówność zachodzi dla ciągów długości   i niech     będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości   Niech ponadto   będzie permutacją zbioru   Jeśli   to   jest permutacją zbioru   i wówczas

 

Załóżmy zatem, że   i niech dla  

 

Oczywiście   jest permutacją na zbiorze  

Ponadto mamy

 

oraz

 

skąd natychmiast

 

co należało dowieść.

Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu