Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

TezaEdytuj

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

 


DowódEdytuj

Sposób 1.Edytuj

Z punktu   prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej   w punkcie   przecina ona również przedłużenie boku   w pewnym punkcie   Zauważyć trzeba, że   i  

Następnie należy poprowadzić przez   prostą równoległą do boku   – przecina ona prostą   w pewnym punkcie   Trójkąty   i  przystające, a więc   Z podobieństwa trójkątów   i   wynika, że:

 

czyli

 

Sposób 2.Edytuj

Niech:

 
 
 
 
 
 

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów   i   prawdziwa jest równość:

 

a także

 

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę:  

Sposób 3Edytuj

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli   Lewą stronę można zapisać jako:

 

Stąd   co należało wykazać.

UogólnienieEdytuj

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli   leży na prostej   i punkt   na niej nie leży, to:

 

Dowód uogólnieniaEdytuj

Spodki wysokości w trójkątach   i   z odpowiednio wierzchołków   i   oznaczone są odpowiednio jako   i   Wtedy:

 
 

Ponadto zarówno kąt   jak i   są proste, a kąty   i   są wierzchołkowe, jeśli   leży na odcinku   a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty   i   są podobne, a więc:

 

co kończy dowód.

Zobacz teżEdytuj