Twierdzenie o filtrze pierwszym

Niech ${\mathcal {K}}$ będzie kratą rozdzielną. Wówczas krata dualna ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }$ do ${\mathcal {K}}$ także jest rozdzielna.

Jeśli teraz $a\not \leqslant b$ w ${\mathcal {K}},$ to $b\not \leqslant ^{\mathbf {d} }a$ w ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }.$ Na mocy twierdzenia o ideale pierwszym, istnieje w ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }$ ideał pierwszy $F,$ dla którego $a\in F\,,\;b\not \in F.$ Wówczas jak się okazuje $F$ jest filtrem pierwszym w wyjściowej kracie ${\mathcal {K}}.$

Tym samym wykazaliśmy:

Niech ${\mathcal {K}}$ będzie kratą rozdzielną i niech $a\not \leqslant b.$ Wówczas istnieje w ${\mathcal {K}}$ filtr pierwszy $F,$ dla którego $a\in F\,,\;b\not \in F.$