Twierdzenie o izomorfizmie

Twierdzenie o izomorfizmietwierdzenie matematyczne, szeroko stosowane w algebrze uniwersalnej, mówiące o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.

Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern („Abstrakcyjne konstrukcje teorii ideałów w algebraicznych ciałach liczbowych i funkcyjnych”) opublikowanej w 1927 roku w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń można znaleźć w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych pracach Noether.

Trzy lata później Bartel Leendert van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który wykorzystywał (teraz tradycyjne) podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.

GrupyEdytuj

Poniższe twierdzenia o izomorfizmie dla grup przyjmują prostszą postać niż ich ogólne odpowiedniki i wyrażają ważne własności grup ilorazowych; we wszystkich trzech „dzielnikiem” jest podgrupa normalna („dzielnik normalny”).

Pierwsze twierdzenieEdytuj

Jeżeli   są grupami, a

 

jest homomorfizmem, to

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to   jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu   na sumę prostą.

Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)Edytuj

Niech

  będą podgrupami  
  będzie podgrupą normalną  

Wówczas

Iloczyn   grup   oraz   jest podgrupą w  
  jest podgrupą normalną w   a
  jest izomorficzna z  

Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)Edytuj

Jeżeli

  są podgrupami normalnymi w   takimi, że   zawiera się w  

to

  jest podgrupą normalną w  
  jest podgrupą normalną w  
  jest izomorficzna z  

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Pierścienie i modułyEdytuj

Twierdzenia o izomorfizmie są prawdziwe także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.

Twierdzenia o izomorfizmie obowiązują również dla modułów nad ustalonym pierścieniem   W sformułowania należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „ -moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.

Tym samym twierdzenia zachodzą i dla przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem: wystarczy użyć odpowiednio kolejnych pojęć „przestrzeń liniowa”, „podprzestrzeń liniowa” oraz „przestrzeń ilorazowa” w miejsce wymienionych wyżej struktur modularnych. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest lepiej znane w tym kontekście jako twierdzenia o rzędzie.

We wspomnianych przypadkach używana jest notacja addytywna supremum to „ ”, nie zaś „ ”.

AlgebryEdytuj

Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.

Krótko, jeżeli   jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na   jest relacja równoważności   określona na   która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór   (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności   może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ   jest podalgebrą  

Pierwsze twierdzenieEdytuj

Jeżeli   są algebrami, a   homomorfizmem z   do   to relacja równoważności   określona na   wzorem

  jest kongruencją na   zaś algebra   jest izomorficzna z obrazem   czyli podalgebrą w  

Drugie twierdzenieEdytuj

Dla danej algebry   i jej podalgebry   oraz kongruencji określonej na   niech   będzie podzbiorem   wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z   Symbol   będzie oznaczał przecięcie   (rozpatrywane jako podzbiór  ) z   Wówczas   jest podalgebrą   a   jest kongruencją na   i wreszcie algebra   jest izomorficzna z algebrą  

Trzecie twierdzenieEdytuj

Niech   będzie algebrą, a   oraz   będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na   gdzie   zawiera się w   Wówczas   wyznacza kongruencję   na   określoną wzorem

  a   jest izomorficzna z  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927), s. 26-61.
  • Colin McLarty (pod redakcją Jeremy’ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophyEmmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006), s. 211–35.

Linki zewnętrzneEdytuj