Twierdzenie o oddzielaniu

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech   będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

  • Jeżeli   jest zbiorem otwartym, to istnieją   oraz liczba rzeczywista   takie, że
  dla wszystkich   oraz  
  • Jeżeli   jest przestrzenią lokalnie wypukłą,   jest zbiorem zwartym oraz   jest zbiorem domkniętym, to istnieją   oraz liczby rzeczywiste   takie, że
  dla wszystkich   oraz  

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli   jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego   istnieje   taki, że  

Inne twierdzenia o oddzielaniuEdytuj

Niech   będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a   jej podprzestrzenią.

  • Dla każdego   istnieje   taki, że   oraz  
  •  
  •  
  • Jeżeli   jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego   istnieje   takie, że   oraz   dla każdego