Twierdzenie o odpowiedniości

Twierdzenie o odpowiedniości^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie^[6]^[9]^[a]^[b] lub twierdzenie o kracie^[11]) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy $G$ zawierających podgrupę normalną $N$ z podgrupami grupy ilorazowej $G/N;$ struktura podgrup grupy $G/N$ jest tożsama ze strukturą podgrup grupy $G$ zawierających $N$ (zob. Wnioski).

Niech $\varphi \colon G\twoheadrightarrow G'$ będzie homomorfizmem grup $G$ na $G'.$ Wówczas istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich podgrup grupy $G$ zawierających jądro $\ker \varphi$ oraz zbioru wszystkich podgrup grupy $G'$ – odpowiedniość ta zachowuje zawieranie. Podgrupy normalne w $G$ zawierające $\ker \varphi$ odpowiadają podgrupom normalnym w $G'$ i na odwrót. Grupy ilorazowe odpowiadających podgrup normalnych są izomorficzne. W ten sposób twierdzenie opisuje monotoniczne połączenie Galois (w istocie: odpowiedniość Galois) między kratą podgrup grupy $G$ a kratą podgrup grupy $G/N.$ Podobne wyniki są prawdziwe dla pierścieni, modułów, przestrzeni liniowych oraz algebr nad ciałami.

Twierdzenie edytuj

Zobacz też: podgrupa, podgrupa normalna, grupa ilorazowa, homomorfizm i jądro.

Niech $\varphi \colon G\twoheadrightarrow G'$ jest homomorfizmem grup $G$ na $G'.$ Wówczas

(1) dla każdej

H\leqslant G,

dla której

\ker \varphi \leqslant H,

istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa

H'\leqslant G'

^[c];

(2) jeżeli

\ker \varphi \leqslant H\leqslant J\leqslant G,

to

H'\leqslant J'

^[d];

(3) jeżeli

\ker \varphi \leqslant H\leqslant G,

\ker \varphi \leqslant J\leqslant G

oraz

H'\leqslant J',

to

H\leqslant J

^[e];

(4) jeżeli

\ker \varphi \leqslant H\leqslant G,

\ker \varphi \leqslant J\leqslant G

oraz

H'=J',

to

H=J

^[f];

(5) jeżeli

S

jest dowolną podgrupą

G',

to istnieje

H\leqslant G,

dla której

\ker \varphi \leqslant H

oraz

H'=S

^[g];

(6) dla

\ker \varphi \leqslant H\leqslant G

zachodzi

H\trianglelefteq G

wtedy i tylko wtedy, gdy

H'\trianglelefteq G'

^[h];

(7) jeżeli

\ker \varphi \leqslant H\trianglelefteq G

oraz

H'\trianglelefteq G',

to

G/H\simeq G'/H'

^[i].

Wnioski edytuj

Ważny przypadek szczególny powyższego twierdzenia to przypadek homomorfizmu naturalnego (zob. rozkład grupy ilorazowej); przypadek ten umożliwia wyczerpujący opis podgrup grupy ilorazowej – jego ostatnią zależność określa się jako twierdzenie o ilorazie ilorazu lub, częściej, trzecie (drugie) twierdzenie o izomorfizmie – dzięki poniższemu stwierdzeniu można m.in. przeprowadzić klasyfikację grup ilorazowych grup cyklicznych:

Stwierdzenie: Niech $N\trianglelefteq G.$ Podgrupy grupy $G/N$ są podgrupami ilorazowymi $S/N,$ gdzie $S$ przebiega podgrupy grupy $G$ spełniające $N\leqslant S.$ Dokładniej, dla każdej podgrupy $X$ grupy $G/N$ istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa $S$ grupy $G$ spełniająca $N\leqslant S,$ dla której $X=G/N.$ Jeżeli $X_{1}$ i $X_{2}$ są podgrupami $G/N,$ np. $X_{1}=S_{1}/N$ i $X_{2}=S_{2}/N,$ gdzie $N\leqslant S_{1}\leqslant G$ i $N\leqslant S_{2}\leqslant G,$ to $X_{1}\leqslant X_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S_{1}\leqslant S_{2}.$ Co więcej $S/N\trianglelefteq G/N$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S\trianglelefteq G.$ W tym przypadku $G/N{\big /}S/N\simeq G/S.$

Dowód

Ponieważ

N\trianglelefteq G,

to możliwa jest konstrukcja grupy ilorazowej

G/N.

Homomorfizm naturalny

\nu \colon G\to G/N

jest „na”, można zatem zastosować powyższe twierdzenie – zgodnie z nim dowolna podgrupa w

G/N

jest postaci

\operatorname {im} \,\nu _{S}

dla pewnej

S\leqslant G,

gdzie

\ker \nu \leqslant S

(

\nu _{S}

oznacza zawężenie

\nu

do

S

). Jest

\operatorname {im} \,\nu _{S}=\left\{\nu (s)\in G/N\colon s\in S\right\}=\{sN\in G/N\colon s\in S\}=S/N

oraz

\ker \nu =N

na mocy twierdzenia (

S/N

ma sens, ponieważ

N\trianglelefteq G

oraz

N\leqslant S

pociągają

N\trianglelefteq S

). Zatem podgrupy

G/N

mają postać

S/N,

gdzie

N\leqslant S\leqslant G.

Zgodnie z częściami (2), (3), (4) twierdzenia

S_{1}/N\leqslant S_{2}/N

wtedy i tylko wtedy, gdy

S_{1}\leqslant S_{2}

oraz

S_{1}\neq S_{2}.

Wreszcie

S_{1}/N\trianglelefteq G/N

wtedy i tylko wtedy, gdy

S\trianglelefteq G

na mocy części (6) twierdzenia i w tym przypadku

G/N{\big /}S/N\simeq G/S

na mocy (7), co kończy dowód.

W szczególności prawdziwe są też następujące obserwacje:

jeśli $H\leqslant G,$ to $[G:H]=[G':H'],$ gdzie $[G:H]$ oznacza indeks podgrupy $H$ w grupie $G$ (tj. liczbę warstw podgrupy $H$ w grupie $G$ );
$(A\Cup B)/N=A'\Cup B',$ gdzie $A\Cup B$ oznacza podgrupę $G$ generowaną przez $A\cup B$ ^[j];
$(A\cap B)/N=A'\cap B';$

przy czym lista ta jest daleko niewyczerpująca, ponieważ większość właściwości podgrup zachowuje się w obrazach bijekcyjnych na podgrupy grup ilorazowych.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

↑ Pod nazwą „czwarte twierdzenie o izomorfizmie” niektórzy rozumieją lemat Zassenhausa; np. Alperin i Bell^[4] (s. 13) lub Wilson^[10].
↑ W zależności od sposobu liczenia twierdzeń o izomorfizmie można spotkać się z określeniem twierdzenia o odpowiedniości jako trzeciego twierdzenia o izomorfizmie; zob. np. H.E. Rose^[3] (s. 78).
↑ Dla każdej $H\leqslant G,$ dla której $\ker \varphi \leqslant H,$ należy wskazać podgrupę w $G'.$ Można to uczynić zaczynając od podzbioru w $G'$ wyznaczonego przez $H$ za pomocą jedynego dostępnego transportu z $G$ do $G',$ mianowicie przekształcenia $\varphi .$ W związku z tym oznaczając
$H':=\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\}$
należy dowieść, że $H'\leqslant G'.$ Można to uczynić za pomocą kryterium bycia podgrupą, jednak można skorzystać z twierdzenia zapewniającego, że obraz homomorficzny grupy jest podgrupą w obrazie: zawężenie $\varphi$ do $H$ jest homomorfizmem i z definicji jest
$H'=\left\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\right\}=\{\varphi _{H}(h)\in G'\colon h\in H\}=\operatorname {im} \,\varphi _{H};$
wspomniane twierdzenie daje teraz $\operatorname {im} \,\varphi _{H}\leqslant G,$ skąd $H'\leqslant G'.$ Zależność $H'=\operatorname {im} \,\varphi _{H}$ będzie użyteczna w kolejnych częściach.
↑ Niech $\ker \varphi \leqslant H\leqslant J\leqslant G.$ Dowód, że $H'\leqslant J'$ jest prosty: dla dowolnego $h\in H$ jest też $h\in J,$ zatem $\varphi (h)\in \operatorname {im} \,\varphi _{J}=J';$ ponieważ $\varphi (h)\in J'$ dla wszystkich $\varphi (h)\in H',$ to $H'\leqslant J'.$
↑ Niech $\ker \varphi \leqslant H\leqslant G,$ $\ker \varphi \leqslant J\leqslant G$ oraz $H'\leqslant J'.$ Należy dowieść $H\leqslant J.$ Założenie $H'\leqslant J'$ oznacza $\operatorname {im} \,\varphi _{H}\leqslant \operatorname {im} \,\varphi _{J}.$ Ponadto dla każdego $h\in H$ zachodzi $\varphi (h)\in \operatorname {im} \,\varphi _{J}{:}$
dla dowolnego $h\in H$ istnieje taki $j\in J,$ dla którego $\varphi (h)=\varphi (j).$
Dla $h,j$ jak wyżej otrzymuje się
$e=\varphi (j)^{-1}\varphi (h)=\varphi \left(j^{-1}\right)\varphi (h)=\varphi \left(j^{-1}h\right),$
skąd $j^{-1}h\in \ker \varphi \leqslant J,$ czyli (z własności warstw) $h\in jJ=J.$ Dlatego $h\in J$ dla dowolnego $h\in H,$ a zatem $H\leqslant J.$
↑ To bezpośredni wniosek z (3): jeśli $H'=J',$ to $H'\leqslant J'$ oraz $J'\leqslant H',$ a więc i $H\leqslant J$ oraz $J\leqslant H'$ na mocy (3), zatem $H=J$ (pokazuje to zarazem, że odpowiedniość $H\to H'$ jest jednoznaczna, tzn. różnowartościowa).
↑ Dla każdej $S\leqslant G'$ należy znaleźć $H\leqslant G,$ dla której $\ker \varphi \leqslant H$ oraz $H'=S.$ Podobnie jak w części (1) podgrupę $H$ można wskazać za pomocą przeciwobrazów elementów w $S.$ Przyjmując
$H=\left\{a\in G\colon \varphi (a)\in S\right\}$
widać, że $a\in H$ oznacza $\varphi (a)\in S.$ Należy pokazać, że $H\leqslant G,$ ponadto $\ker \varphi \leqslant H$ oraz że $H'=S.$ Najpierw $H\leqslant G{:}$ ponieważ $\varphi (e_{G})=e_{G'},$ to $e\in H,$ zatem $H\neq \varnothing .$ Stosując kryterium bycia podgrupą:
(i) jeśli $a,b\in H,$ to $\varphi (a),\varphi (b)\in S,$ czyli $\varphi (a)\varphi (b)=\varphi (ab)\in S,$ tzn. $ab\in H,$ a zatem $H$ jest zamknięte ze względu na mnożenie;

(ii) jeśli $a\in H,$ to $\varphi (a)\in S,$ czyli $\varphi (a)^{-1}=\varphi \left(a^{-1}\right)\in S,$ tzn. $a^{-1}\in H,$ a więc $H$ jest zamknięte ze względu na branie odwrotności;
dowodzimy, że $H$ jest podgrupą w $G.$ Dalej, to że $H$ zawiera $\ker \varphi$ jest trywialne: jeśli $a\in \ker \varphi ,$ to $\varphi (a)=e,$ czyli $\varphi (a)\in S,$ a więc $a\in H;$ stąd $\ker \varphi \leqslant H.$ Pozostaje dowieść $H'=S;$ otóż zachodzi
$H'=\operatorname {im} \,\varphi _{H}=\left\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\right\}=\left\{\varphi (h)\in G'\colon \varphi (h)\in S\right\}=S$
zgodnie z tezą (ta część pokazuje, że odpowiedniość $H\to H'$ jest „na”).
↑ Najpierw zakładając $H\trianglelefteq G$ wykazane zostanie $H'\trianglelefteq G'.$ Posłuży do tego jedna z charakteryzacji podgrup normalnych: pokazane zostanie $x^{-1}h'x\in H'$ dla dowolnych $x\in G'$ oraz dla dowolnych $h'\in H'.$ Jeśli $x\in G'$ oraz $h'\in H',$ to istnieją $a\in G,$ gdzie $\varphi (a)=x$ oraz $h\in H,$ gdzie $\varphi (h)=h'.$ Jest tak, ponieważ $\varphi$ jest na $G',$ a $H'$ jest określona jako $\operatorname {im} \,\varphi _{H}.$ Należy wykazać, że $\varphi (a)^{-1}\varphi (h)\varphi (a)\in H',$ co jest równoważne $\varphi \left(a^{-1}ha\right)\in H'.$ Ponieważ $H\triangleleft G,$ to wiadomo, że $a^{-1}ha\in H,$ skąd $\varphi \left(a^{-1}ha\right)\in \operatorname {im} \,\varphi _{H}=H'.$ Dowodzi to $H'\trianglelefteq G'.$ Zakładając teraz $H'\trianglelefteq G'$ należy dowieść $H\trianglelefteq G;$ można to zrobić naśladując powyższe rozumowanie, jednak zostanie wykorzystany fakt, że podgrupy normalne i jądra to te same obiekty – ta metoda zostanie wykorzystana również w dowodzie części (7). Z twierdzenia o homomorfizmie naturalnym (zob. rozkład grupy ilorazowej) $H'=\ker \nu ',$ gdzie $\nu '\colon G'\to G'/H'$ jest homomorfizmem naturalnym. Złożenie $\varphi \nu '\colon G\to G'/H'$ również jest homomorfizmem; jego jądrem jest
$\ker \varphi \nu '=\{a\in G\colon \varphi \nu '(a)=H'\}=\{a\in G\colon \varphi (a)\in \ker \nu '\}=\{a\in G\colon \varphi (a)\in H'\}.$
Zatem $(\ker \varphi \nu ')'=\operatorname {im} \,\varphi _{\ker \varphi \nu '}=\{\varphi (a)\in G'\colon a\in \ker \varphi \nu '\}=\{\varphi (a)\in G'\colon \varphi (a)\in H'\}=H',$ skąd, z części (4),
$\ker \varphi \nu '=H\quad (\mathrm {*} )$
Jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną w dziedzinie, zatem $H\trianglelefteq G,$ co należało dowieść.
↑ Każdy z $H\trianglelefteq G$ oraz $H'\trianglelefteq G'$ pociąga drugi. Założywszy prawdziwość jednego, a więc dwóch z nich, i mając homomorfizm $\nu '$ uzyskuje się
$G/\ker \varphi \nu '\simeq \operatorname {im} \,\varphi \nu '.\quad (\#)$
Z (*) wiadomo, że $\ker \varphi \nu '=H.$ Co do obrazu, ponieważ $\varphi$ jest na $G'$ z założenia, a $\nu '$ jest na $G'/H'$ jako homomorfizm naturalny, zatem ich złożenie również jest „na”. Zatem $\operatorname {im} \,\varphi \nu '=G'/H'$ i (#) staje się
$G/H\simeq G'/H'.$
↑ Jeżeli $A,B$ są normalne, a nawet tylko permutowalne, to $A\Cup B$ jest w istocie ich iloczynem kompleksowym $AB;$ w szczególności oba powyższe warunki są spełnione, gdy $G$ jest przemienna.

Przypisy edytuj

↑ Derek John Scott Robinson: An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter, 2003, s. 64. ISBN 978-3-11-017544-8.
↑ J.F. Humphreys: A Course in Group Theory. Oxford University Press, 1996, s. 65. ISBN 978-0-19-853459-4.
↑ ^a ^b H.E. Rose: A Course on Finite Groups. Springer, 2009, s. 78. ISBN 978-1-84882-889-6.
↑ ^a ^b J.L. Alperin, Rowen B. Bell: Groups and Representations. Springer, 1995, s. 11. ISBN 978-1-4612-0799-3.
↑ I. Martin Isaacs: Algebra: A Graduate Course. American Mathematical Soc., 1994, s. 35. ISBN 978-0-8218-4799-2.
↑ ^a ^b Joseph Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Wyd. IV. Springer, 1995, s. 37–38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
↑ W. Keith Nicholson: Introduction to Abstract Algebra. Wyd. IV. John Wiley & Sons, 2012, s. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
↑ Steven Roman: Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer Science & Business Media, 2011, s. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
↑ Jonathan K. Hodge, Steven Schlicker, Ted Sundstrom: Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach. CRC Press, 2013, s. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.
↑ Robert Wilson: The Finite Simple Groups. Springer, 2009, s. 7. ISBN 978-1-84800-988-2.
↑ W.R. Scott: Group Theory. Prentice Hall, 1964, s. 27.

[11] Pod nazwą „czwarte twierdzenie o izomorfizmie” niektórzy rozumieją lemat Zassenhausa; np. Alperin i Bell^[4] (s. 13) lub Wilson^[10].

[12] W zależności od sposobu liczenia twierdzeń o izomorfizmie można spotkać się z określeniem twierdzenia o odpowiedniości jako trzeciego twierdzenia o izomorfizmie; zob. np. H.E. Rose^[3] (s. 78).

[14] Dla każdej $H\leqslant G,$ dla której $\ker \varphi \leqslant H,$ należy wskazać podgrupę w $G'.$ Można to uczynić zaczynając od podzbioru w $G'$ wyznaczonego przez $H$ za pomocą jedynego dostępnego transportu z $G$ do $G',$ mianowicie przekształcenia $\varphi .$ W związku z tym oznaczając
$H':=\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\}$
należy dowieść, że $H'\leqslant G'.$ Można to uczynić za pomocą kryterium bycia podgrupą, jednak można skorzystać z twierdzenia zapewniającego, że obraz homomorficzny grupy jest podgrupą w obrazie: zawężenie $\varphi$ do $H$ jest homomorfizmem i z definicji jest
$H'=\left\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\right\}=\{\varphi _{H}(h)\in G'\colon h\in H\}=\operatorname {im} \,\varphi _{H};$
wspomniane twierdzenie daje teraz $\operatorname {im} \,\varphi _{H}\leqslant G,$ skąd $H'\leqslant G'.$ Zależność $H'=\operatorname {im} \,\varphi _{H}$ będzie użyteczna w kolejnych częściach.

[15] Niech $\ker \varphi \leqslant H\leqslant J\leqslant G.$ Dowód, że $H'\leqslant J'$ jest prosty: dla dowolnego $h\in H$ jest też $h\in J,$ zatem $\varphi (h)\in \operatorname {im} \,\varphi _{J}=J';$ ponieważ $\varphi (h)\in J'$ dla wszystkich $\varphi (h)\in H',$ to $H'\leqslant J'.$

[16] Niech $\ker \varphi \leqslant H\leqslant G,$ $\ker \varphi \leqslant J\leqslant G$ oraz $H'\leqslant J'.$ Należy dowieść $H\leqslant J.$ Założenie $H'\leqslant J'$ oznacza $\operatorname {im} \,\varphi _{H}\leqslant \operatorname {im} \,\varphi _{J}.$ Ponadto dla każdego $h\in H$ zachodzi $\varphi (h)\in \operatorname {im} \,\varphi _{J}{:}$
dla dowolnego $h\in H$ istnieje taki $j\in J,$ dla którego $\varphi (h)=\varphi (j).$
Dla $h,j$ jak wyżej otrzymuje się
$e=\varphi (j)^{-1}\varphi (h)=\varphi \left(j^{-1}\right)\varphi (h)=\varphi \left(j^{-1}h\right),$
skąd $j^{-1}h\in \ker \varphi \leqslant J,$ czyli (z własności warstw) $h\in jJ=J.$ Dlatego $h\in J$ dla dowolnego $h\in H,$ a zatem $H\leqslant J.$

[17] To bezpośredni wniosek z (3): jeśli $H'=J',$ to $H'\leqslant J'$ oraz $J'\leqslant H',$ a więc i $H\leqslant J$ oraz $J\leqslant H'$ na mocy (3), zatem $H=J$ (pokazuje to zarazem, że odpowiedniość $H\to H'$ jest jednoznaczna, tzn. różnowartościowa).

[18] Dla każdej $S\leqslant G'$ należy znaleźć $H\leqslant G,$ dla której $\ker \varphi \leqslant H$ oraz $H'=S.$ Podobnie jak w części (1) podgrupę $H$ można wskazać za pomocą przeciwobrazów elementów w $S.$ Przyjmując
$H=\left\{a\in G\colon \varphi (a)\in S\right\}$
widać, że $a\in H$ oznacza $\varphi (a)\in S.$ Należy pokazać, że $H\leqslant G,$ ponadto $\ker \varphi \leqslant H$ oraz że $H'=S.$ Najpierw $H\leqslant G{:}$ ponieważ $\varphi (e_{G})=e_{G'},$ to $e\in H,$ zatem $H\neq \varnothing .$ Stosując kryterium bycia podgrupą:
(i) jeśli $a,b\in H,$ to $\varphi (a),\varphi (b)\in S,$ czyli $\varphi (a)\varphi (b)=\varphi (ab)\in S,$ tzn. $ab\in H,$ a zatem $H$ jest zamknięte ze względu na mnożenie;

(ii) jeśli $a\in H,$ to $\varphi (a)\in S,$ czyli $\varphi (a)^{-1}=\varphi \left(a^{-1}\right)\in S,$ tzn. $a^{-1}\in H,$ a więc $H$ jest zamknięte ze względu na branie odwrotności;
dowodzimy, że $H$ jest podgrupą w $G.$ Dalej, to że $H$ zawiera $\ker \varphi$ jest trywialne: jeśli $a\in \ker \varphi ,$ to $\varphi (a)=e,$ czyli $\varphi (a)\in S,$ a więc $a\in H;$ stąd $\ker \varphi \leqslant H.$ Pozostaje dowieść $H'=S;$ otóż zachodzi
$H'=\operatorname {im} \,\varphi _{H}=\left\{\varphi (h)\in G'\colon h\in H\right\}=\left\{\varphi (h)\in G'\colon \varphi (h)\in S\right\}=S$
zgodnie z tezą (ta część pokazuje, że odpowiedniość $H\to H'$ jest „na”).

[19] Najpierw zakładając $H\trianglelefteq G$ wykazane zostanie $H'\trianglelefteq G'.$ Posłuży do tego jedna z charakteryzacji podgrup normalnych: pokazane zostanie $x^{-1}h'x\in H'$ dla dowolnych $x\in G'$ oraz dla dowolnych $h'\in H'.$ Jeśli $x\in G'$ oraz $h'\in H',$ to istnieją $a\in G,$ gdzie $\varphi (a)=x$ oraz $h\in H,$ gdzie $\varphi (h)=h'.$ Jest tak, ponieważ $\varphi$ jest na $G',$ a $H'$ jest określona jako $\operatorname {im} \,\varphi _{H}.$ Należy wykazać, że $\varphi (a)^{-1}\varphi (h)\varphi (a)\in H',$ co jest równoważne $\varphi \left(a^{-1}ha\right)\in H'.$ Ponieważ $H\triangleleft G,$ to wiadomo, że $a^{-1}ha\in H,$ skąd $\varphi \left(a^{-1}ha\right)\in \operatorname {im} \,\varphi _{H}=H'.$ Dowodzi to $H'\trianglelefteq G'.$ Zakładając teraz $H'\trianglelefteq G'$ należy dowieść $H\trianglelefteq G;$ można to zrobić naśladując powyższe rozumowanie, jednak zostanie wykorzystany fakt, że podgrupy normalne i jądra to te same obiekty – ta metoda zostanie wykorzystana również w dowodzie części (7). Z twierdzenia o homomorfizmie naturalnym (zob. rozkład grupy ilorazowej) $H'=\ker \nu ',$ gdzie $\nu '\colon G'\to G'/H'$ jest homomorfizmem naturalnym. Złożenie $\varphi \nu '\colon G\to G'/H'$ również jest homomorfizmem; jego jądrem jest
$\ker \varphi \nu '=\{a\in G\colon \varphi \nu '(a)=H'\}=\{a\in G\colon \varphi (a)\in \ker \nu '\}=\{a\in G\colon \varphi (a)\in H'\}.$
Zatem $(\ker \varphi \nu ')'=\operatorname {im} \,\varphi _{\ker \varphi \nu '}=\{\varphi (a)\in G'\colon a\in \ker \varphi \nu '\}=\{\varphi (a)\in G'\colon \varphi (a)\in H'\}=H',$ skąd, z części (4),
$\ker \varphi \nu '=H\quad (\mathrm {*} )$
Jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną w dziedzinie, zatem $H\trianglelefteq G,$ co należało dowieść.

[20] Każdy z $H\trianglelefteq G$ oraz $H'\trianglelefteq G'$ pociąga drugi. Założywszy prawdziwość jednego, a więc dwóch z nich, i mając homomorfizm $\nu '$ uzyskuje się
$G/\ker \varphi \nu '\simeq \operatorname {im} \,\varphi \nu '.\quad (\#)$
Z (*) wiadomo, że $\ker \varphi \nu '=H.$ Co do obrazu, ponieważ $\varphi$ jest na $G'$ z założenia, a $\nu '$ jest na $G'/H'$ jako homomorfizm naturalny, zatem ich złożenie również jest „na”. Zatem $\operatorname {im} \,\varphi \nu '=G'/H'$ i (#) staje się
$G/H\simeq G'/H'.$

[21] Jeżeli $A,B$ są normalne, a nawet tylko permutowalne, to $A\Cup B$ jest w istocie ich iloczynem kompleksowym $AB;$ w szczególności oba powyższe warunki są spełnione, gdy $G$ jest przemienna.

[Robinson2003-1] Derek John Scott Robinson: An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter, 2003, s. 64. ISBN 978-3-11-017544-8.

[Humphreys1996-2] J.F. Humphreys: A Course in Group Theory. Oxford University Press, 1996, s. 65. ISBN 978-0-19-853459-4.

[Rose2009-3] H.E. Rose: A Course on Finite Groups. Springer, 2009, s. 78. ISBN 978-1-84882-889-6.

[AlperinBell1995-4] J.L. Alperin, Rowen B. Bell: Groups and Representations. Springer, 1995, s. 11. ISBN 978-1-4612-0799-3.

[Isaacs1994-5] I. Martin Isaacs: Algebra: A Graduate Course. American Mathematical Soc., 1994, s. 35. ISBN 978-0-8218-4799-2.

[Rotman1995-6] Joseph Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Wyd. IV. Springer, 1995, s. 37–38. ISBN 978-1-4612-4176-8.

[Nicholson2012-7] W. Keith Nicholson: Introduction to Abstract Algebra. Wyd. IV. John Wiley & Sons, 2012, s. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.

[Roman2011-8] Steven Roman: Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer Science & Business Media, 2011, s. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6.

[HodgeSchlicker2013-9] Jonathan K. Hodge, Steven Schlicker, Ted Sundstrom: Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach. CRC Press, 2013, s. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.

[Wilson2009-10] Robert Wilson: The Finite Simple Groups. Springer, 2009, s. 7. ISBN 978-1-84800-988-2.

[13] W.R. Scott: Group Theory. Prentice Hall, 1964, s. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[a]

[b]

[11]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[j]

[10]