Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazietwierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli jest bazą przestrzeni liniowej a jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co zaś jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe że dla każdego elementu bazy

PrzykładEdytuj

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności   jest przestrzenią liniową nad   której baza   (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy’ego, tj. istnienie takiej funkcji   która spełniałaby równość   dla wszystkich liczb rzeczywistych   Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na   jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje   funkcji ciągłych na   przy czym symbole   oraz   oznaczają odpowiednio pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną oraz liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje   funkcji rzeczywistych, określonych na   Z twierdzenia Cantora wynika, że   (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję   Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.

BibliografiaEdytuj

  • Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003, ​ISBN 0-13-087868-5​, s. 323.