Odwzorowanie Stone’a
Niech
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
kratą rozdzielną i niech
S
K
=
{
F
⊆
|
K
|
:
F
jest filtrem pierwszym
}
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}=\{F\subseteq |{\mathcal {K}}|\colon \,F{\text{ jest filtrem pierwszym}}\;\}.}
Φ
(
a
)
:=
{
F
∈
S
K
:
a
∈
F
}
,
a
∈
|
K
|
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}\colon \;a\in F\,\}\;,\quad a\in |{\mathcal {K}}|.}
Odwzorowanie
Φ
:
K
→
℘
(
S
K
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon {\mathcal {K}}\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}}
odwzorowaniem Stone’a
Dowód twierdzenia o reprezentacji
edytuj
Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
℘
(
S
K
)
.
{\displaystyle \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}{\big )}.}
Różnowartościowość Niech
a
≠
b
,
a
,
b
∈
|
K
|
.
{\displaystyle a\neq b,\,a,b\in |{\mathcal {K}}|.}
a
⩽̸
b
,
{\displaystyle a\not \leqslant b,}
twierdzenia o filtrze pierwszym , istnieje filtr pierwszy
F
,
{\displaystyle F,}
a
∈
F
{\displaystyle a\in F}
b
∉
F
.
{\displaystyle b\not \in F.}
F
∈
Φ
(
a
)
∖
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\setminus {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
Φ
(
a
)
≠
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\neq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Zgodność z działaniami Mamy:
F
∈
Φ
(
a
⊓
b
)
⇔
a
⊓
b
∈
F
⇔
a
,
b
∈
F
⇔
F
∈
Φ
(
a
)
∩
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcap b\in F\;\Leftrightarrow \;a,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
skąd
Φ
(
a
⊓
b
)
=
Φ
(
a
)
∩
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcap b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
Dalej:
F
∈
Φ
(
a
⊔
b
)
⇔
a
⊔
b
∈
F
⇔
a
∈
F
∨
b
∈
F
⇔
F
∈
Φ
(
a
)
∪
Φ
(
b
)
,
{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)\;\Leftrightarrow \;a\sqcup b\in F\;\Leftrightarrow \;a\in F\,\vee \,b\in F\;\Leftrightarrow \;F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),}
skąd
Φ
(
a
⊔
b
)
=
Φ
(
a
)
∪
Φ
(
b
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\sqcup b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b).}
To kończy dowód.
Rodzina
Φ
`
`
|
H
|
{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|}
S
K
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {K}}.}
przestrzenią Strone’a
dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej W przypadku, gdy
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
reduktem algebry Boole’a , przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga ).
Krata rozdzielna i jej filtry Jej obraz w reprezentacji Stone’a 
