Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów lub wzór sinusów – twierdzenie dotyczące zależności między kątami i bokami w trójkącie.

Treść twierdzeniaEdytuj

W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zależność tę można zapisać następująco:

 

DowódEdytuj

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość   gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

 

Na trójkącie   opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.

Przypadek 1.  
  oraz   więc równość jest spełniona.
Przypadek 2.  

Kreślimy średnicę   i rozważamy pomocniczy trójkąt   Kąt   jest prosty, więc oznaczając kąt   przez   otrzymujemy

 

Ponieważ     oraz   (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.

Przypadek 3.  

Postępując tak jak w przypadku 2, otrzymujemy równość

 

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy   Zatem   Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.

Uproszczona wersja twierdzeniaEdytuj

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

 

Dowód 1Edytuj

Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:

 

Dzieląc każde z wyrażeń przez   i mnożąc przez 2, dostajemy

 

Biorąc odwrotności każdego z wyrażeń, dostajemy tezę.

Dowód 2Edytuj

Opuśćmy wysokość z wierzchołka wspólnego dla boków     Wówczas

 

Rugując z obu równań zmienną   dostajemy:

 

czyli dzieląc obie strony przez   dostajemy

 

Zmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość, dostajemy pozostałe dwie równości.

WnioskiEdytuj

Korzystając z twierdzenia sinusów, można udowodnić:

Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowychEdytuj

Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych

W geometrii eliptycznej mamy wzór:

 

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną, dostajemy:

 

Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.

Spostrzeżenie, że   umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz   to otrzymamy następujący wzór:

 
  • Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu  
  • Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym   Ponieważ   jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym   Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.

Twierdzenie sinusów dla trójkątów sferycznychEdytuj

 
rys.1
Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór
 

DowódEdytuj

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

 
 
 

Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego, możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako   Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka

 
 
 

Rozważmy wyrażenie:

 

Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest równy α. Czyli:

 

Z drugiej strony na mocy znanej własności   dostajemy:

 

ponieważ

 

Stąd

 
 
rys. 2

Ponieważ (rys. 2) dla iloczynu mieszanego   zachodzi

 

gdzie   jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b, to dostajemy zależność

 

a po uproszczeniu

 

Prowadząc analogiczne rozważania dla wyrażenia

 

dostajemy zależność

 

Rugując z obu zależności trygonometrycznych   dostajemy

 

Analogicznie dowodzimy zależności

 

Twierdzenie sinusów dla czworościanuEdytuj

 
litery łacińskie (czarne) oznaczają długości krawędzi, litery greckie (czerwone) oznaczają miary kątów krawędziowych

Jeśli a, b, c, a′, b′, c′ są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α, β, γ, α', β', γ' są kątami krawędziowymi przy analogicznych krawędziach, to

 

DowódEdytuj

Niech   oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta sferycznego przy wierzchołku, w którym zbiegają się boki a, b, c′:

 

Podobnie dla wierzchołka, w którym zbiegają się boki a′, b′, c′:

 

Mnożąc stronami dwie powyższe równości, dostajemy:

 

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta, którego bokami są a′, b, c′:

 

Podobnie dla trójkąta, którego bokami są a, b′, c′:

 

Mnożąc stronami dwie powyższe równości, dostajemy:

 

I na koniec, mnożąc stronami równości (1), (2), dostajemy

 

Zmieniając parę przeciwnych krawędzi czworościanu na inną parę, dostajemy pozostałe dwie równości tezy.

Twierdzenie sinusów dla kąta trójściennegoEdytuj

Jeśli   są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworościanu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś   kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzi wzór:

 

Dowód polega na zrzutowaniu punktu A na płaszczyznę SBC (rzut – A′) i przedstawieniu stosunku długości AA′ do OA za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów występujących przy rzutowaniu najpierw na prostą SB lub SC i porównaniu wyrażeń.

Zobacz teżEdytuj