Ułamek dziesiętny nieskończony

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej za pomocą szeregu liczbowego w postaci:

gdzie liczbami naturalnymi, przy czym dla

Symbol „” zastępuje się znakiem „”, gdy jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „”.

Zapis liczby dodatniej w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby i przedstawia się go jako:

Tutaj cyframi rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela część całkowitą (cechę) liczby od jej mantysy.

PrzykładyEdytuj

 
  (zobacz na temat liczby 0,99999...)
 
 
 
 

WłasnościEdytuj

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby   poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby   w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.
Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby   poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby   w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne[1].

Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętnyEdytuj

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby   dla danej liczby rzeczywistej  

Niech   oznacza wartość bezwzględną, a   część całkowitą liczby  

  1.  
  2.  

liczba   jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają   i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby   mamy:

  1.  
  2.  
  3.  

itd.

Ułamek dziesiętny skończonyEdytuj

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby   od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy   jest liczbą wymierną   przy czym   gdzie   i   są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(24 · 53).

Ułamek dziesiętny okresowyEdytuj

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:

13,54545454… – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok „54”,
2,907645645645… – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok „645”.

W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem

13,(54)
2,907(645)

natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia

13.54
2.907645

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:

2,71 = 2,7100000… – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok „0”.

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykłyEdytuj

Dana jest liczba u = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

  1. oblicz 100u = 2361,709709… – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 100000u = 2361709,709709… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 100000u – 100u = 2361709,709709… – 2361,709709… = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 2359348/99900.

Kolejny przykład: u = 0,031313131…

  1. oblicz 10u = 0,313131… – przesuń przecinek do początku okresu
  2. oblicz 1000u = 31,313131… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
  3. oblicz 1000u – 10u = 31,313131… – 0,313131… = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
  4. wylicz u = 31/990.

Rozwinięcia na ułamki o dowolnej podstawieEdytuj

Jeżeli   jest liczbą naturalną i   to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą   można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego[2]:

 

gdzie   są liczbami naturalnymi oraz   dla  

Liczby   nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie   Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby   na przykład: system dwójkowy albo binarny (o podstawie 2), ósemkowy albo oktalny (o podstawie 8), szesnastkowy albo heksadecymalny (o podstawie 16), dwudziestkowy (o podstawie 20), sześćdziesiątkowy (o podstawie 60) itp.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od   Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 31–33.
  2. W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948, s. 27–36.

BibliografiaEdytuj

  • W. Sierpiński, Działania nieskończone, wyd. III, Warszawa, Czytelnik 1948.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.