Otwórz menu główne

Układ dynamicznymodel matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo.

Układ z pamięcią – układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznychEdytuj

GładkieEdytuj

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

  – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

  – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek  

TopologiczneEdytuj

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech   będzie przestrzenią topologiczną oraz   niech będzie odwzorowaniem. Parę   nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich   oraz   zachodzą warunki:

 
 

oraz   jest odwzorowaniem ciągłym.

InterpretacjaEdytuj

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń   jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych   reprezentuje oś czasu. Punkt   jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu   jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili   w stanie   Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

TeoriomiaroweEdytuj

(dziedzina: teoria ergodyczna)

  – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna),  odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn.   dla  

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza[1][2][3][4][5] oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

  dla  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Hiroshi H. Hasagawa, William C. Saphir, Unitarity and irreversibility in chaotic systems, „Physical Review A”, 46, p. 7401 (1992).
  2. Ronald J. Fox, Construction of the Jordan basis for the Baker map, Chaos, 7, p. 254 (1997).
  3. Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ​ISBN 0-7923-5564-4​ (Exposition of the eigenfunctions the Baker’s map).
  4. Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ​ISBN 83-7197-960-6​.
  5. B. Schweizer, A. Sklar, „Foundations of Physics”, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873.