Układ równań liniowych

Układ równań liniowychkoniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej[1]) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.

Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii, fizyce, chemii, informatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja).

Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymi, rzeczywistymi czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadku pierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

MotywacjeEdytuj

W geometrii euklidesowej można rozpatrywać miejsca geometryczne wyznaczone przez dane dwie proste na płaszczyźnie – mogą one wyznaczać prostą, punkt lub nie wyznaczać żadnego miejsca geometrycznego; odpowiada im odpowiednio nieskończony zbiór elementów, zbiór złożony z pojedynczego elementu lub zbiór pusty. Wprowadzenie na płaszczyźnie układu współrzędnych umożliwia algebraizację tego zadania: proste zadane są za pomocą równań liniowych, zaś miejsce geometryczne wyznaczone przez te proste odpowiada zbiorowi elementów spełniających wszystkie równania jednocześnie (pełną interpretację geometryczną można znaleźć w sekcji Uogólnienia).

 
Rozwiązaniem układu równań   oraz   jest para uporządkowana   gdyż podstawienie do równań poprzednika tej pary za   i jej następnika za   da dwie tożsamości

Jeśli w układzie współrzędnych kartezjańskich proste   zadane są równaniami

 

oraz

 

to ich jedyny punkt wspólny   ma współrzędne   co łatwo sprawdzić wprost:

 
 

To, że jest to jedyny punkt, wynika z faktu, iż proste te nie są równoległe (argument formalny podano dalej). Zwyczajowo równania prostych   zapisuje się bezpośrednio jedno pod drugim i spina klamrą:

 

nazywając je układem równań liniowych, zaś zbiór elementów spełniających każde równanie z osobna (odpowiadający punktom wspólnym prostych) – jego rozwiązaniami.

Postać i zapisEdytuj

Niech   oznacza układ   równań liniowych o   niewiadomych, tzn.

 

Niech   oraz   Wielkości   nazywa się niewiadomymi (lub zmiennymi), liczby   nazywa się współczynnikami, zaś elementy   to wyrazy wolne. Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ   można zapisać jako równanie wektorowe

 

które można przedstawić w postaci

 

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik kombinacji liniowej wektorów   tzn.

 

gdzie   nazywa się w tym kontekście wektorem wyrazów wolnych, zaś   to wektor zmiennych (zob. uogólnienia).

Korzystając z notacji macierzowej, układ   można przedstawić w postaci

 

co, przy pomocy standardowego mnożenia macierzy, można zapisać w formie

 
 
Układ równań liniowych o trzech zmiennych określa zbiór płaszczyzn – dowolny ich punkt przecięcia (o ile istnieje) jest rozwiązaniem układu

Innymi słowy dowolny układ   można traktować jak macierzowe równanie liniowe

 

gdzie   jest macierzą typu   zaś   oraz   to macierze odpowiednio typów   oraz   Macierz   nazywa się macierzą główną układu   Jeśli macierz układu jest kwadratowa, tzn.   to sam układ również nazywa się czasem kwadratowym, jeśli jest ona prostokątna, czyli   to układ także nazywa się niekiedy prostokątnym.

Ponieważ macierz   w powyższym równaniu macierzowym zachowuje się przy operacjach elementarnych na wierszach (każde równanie jest kombinacją liniową elementów  ), to wygodne jest pominięcie go w zapisie i rozpatrywanie macierzy rozszerzonej bądź uzupełnionej układu   złożonej z elementów macierzy   oraz   w której wyrazy   oddziela się zwykle optycznie od wyrazów   pionową kreską:

 

Macierz   może być traktowana jako przypadek szczególny macierzy rozszerzonej, w której wyrazy   są równe zeru.

Dowolny układ   można zapisać w postaci

 

co w zapisie macierzowym można ująć następująco:

 

W ten sposób układ   w postaci   można zapisać jako

 

gdzie   jest macierzą typu   zaś   jest macierzą typu   a   jest macierzą zerową typu   Macierz główna   układu   jest więc formalnie macierzą rozszerzoną układu   Oznacza to, że układ niejednorodny   zmiennych można sprowadzić do układu jednorodnego   zmiennych, przy czym jedna z nich jest ustalona (zob. uogólnienia).

RozwiązaniaEdytuj

 
Równania   oraz   tworzą układ sprzeczny

Rozwiązaniem   nazywa się dowolny ciąg liczb   który po podstawieniu za   będzie spełniał każde z równań   Układ, który nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym; jeżeli zbiór rozwiązań układu jest niepusty, to nazywa się go niesprzecznym. Układ niesprzeczny, który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, nazywa się oznaczonym; układy o więcej niż jednym rozwiązaniu nazywa się nieoznaczonymi – w przypadku układów liniowych nad ciałami nieskończonymi (takimi jak liczby wymierne, liczby rzeczywiste czy liczby zespolone) oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Wskazówkę co do ogólnej liczby rozwiązań układu daje już sama jego postać:

  • układ niedookreślony, który ma mniej równań niż niewiadomych,   zwykle jest nieoznaczony;
  • układ nadokreślony mający więcej równań niż niewiadomych,   zazwyczaj jest sprzeczny;
  • układ, który ma tyle równań co niewiadomych,   często ma jedno rozwiązanie.

Przypadki te obrazują następujące wykresy dla układów równań liniowych dwóch zmiennych:

     
Jedno równanie Dwa równania Trzy równania

Operacje elementarneEdytuj

Osobny artykuł: operacje elementarne.

Podstawową metodą rozwiązywania układów równań jest przekształcanie danego układu w inny, który ma ten sam zbiór rozwiązań – układy takie nazywa się równoważnymi. Można wyróżnić trzy operacje elementarne na wierszach przekształcające dany układ w układ do niego równoważny:

  • dodanie do równania innego równania pomnożonego przez liczbę,
  • zamiana dwóch równań miejscami,
  • pomnożenie równania przez liczbę różną od zera.

Powszechnie stosowanymi metodami rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą wspomnianych operacji elementarnych są:

  • metoda eliminacji Gaussa, w której układ przekształca się do równoważnego z nim układu równań z rosnącą liczbą zmiennych;
  • metoda eliminacji Gaussa-Jordana, w której układ przekształca się dalej (poprzez kolejne podstawienia równań z mniejszą liczbą zmiennych do tych z większą) do równoważnego z nim układu równań liniowych wiążących bezpośrednio każdą zmienną z pewną wartością.

Oba algorytmy opisano w przypadku, gdy układ jest oznaczony. Jeśli układ jest sprzeczny, to uzyskuje się (co najmniej jedno) równanie sprzeczne, które mówi o sprzeczności całego układu. Jeśli układ jest nieoznaczony, to niektóre zmienne przenosi się do prawych części równań i rozwiązanie podaje się w postaci wyrażania jednych zmiennych przez inne (zob. też następną podsekcję). Metody te w zapisie macierzowym odpowiadają (zwykle) najefektywniejszym metodom przekształcania macierzy głównej (w przypadku jednorodnym) lub rozszerzonej (w przypadku niejednorodnym) układu do wierszowo z nią równoważnej macierzy schodkowej w metodzie Gaussa i macierzy schodkowej zredukowanej w metodzie Gaussa-Jordana.

Opis ogólny i zależnośćEdytuj

 
Równania     oraz   nie są liniowo niezależne

Jeżeli układ ma więcej niż jedno rozwiązanie, to można je scharakteryzować, podając tzw. rozwiązanie ogólne układu, będące w istocie układem równań w prostej postaci – w przypadku, jeśli układ ma jedno rozwiązanie, to rozwiązanie można odczytać wprost z rozwiązania ogólnego. Układ

 

gdzie   a zmienne   nie występują po prawej stronie równań (tzn.   dla  ) zadaje rozwiązanie ogólne układu   (krótko:   jest rozwiązaniem ogólnym układu  ). Zmienne   nazywa się wtedy zależnymi, a pozostałe   nazywa się wówczas zmiennymi niezależnymi (albo parametrami).

Równania w układzie liniowym nazywa się niezależnymi, jeśli żadne z nich nie może być uzyskane z innych za pomocą operacji elementarnych. Innymi słowy każde z nich zawiera nową informację o zmiennych i usunięcie któregokolwiek z nich powiększa liczbę rozwiązań; w przypadku równań liniowych niezależność ta nazywana jest niezależnością liniową (zob. charakteryzacja).

Wzory CrameraEdytuj

Zobacz też: wzory Cramera.

Jeśli macierz główna układu jest kwadratowa (układ jest kwadratowy), to oznaczoność układu jest równoważna odwracalności jego macierzy głównej. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, tzn. ma niezerowy wyznacznik. Wówczas, mnożąc z lewej strony (w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne) równanie

 

przez macierz   czyli   otrzymuje się rozwiązanie

 

Macierz odwrotną do   można wyznaczyć w dowolny sposób, np. korzystając z operacji elementarnych bądź obliczając iloraz macierzy dołączonej   przez wyznacznik macierzy   Pierwsza metoda odpowiada w istocie metodzie eliminacji Gaussa-Jordana, druga z kolei jest wnioskiem z twierdzenia Cramera:

 

wtedy też, na mocy rozwinięcia Laplace’a, wzory na elementy   powyższej macierzy, nazywane właśnie wzorami Cramera, dane są jako ilorazy wyznaczników macierzy   przez wyznacznik macierzy głównej   układu  

 

gdzie   oznacza macierz powstałą z   poprzez zamianę elementów  -tej kolumny elementami macierzy wyrazów wolnych   o ile tylko   nie jest równy zeru.

Jak już wspomniano, układ jest oznaczony, gdy macierz główna jest odwracalna. Jeżeli wyznacznik macierzy głównej jest zerowy, to układ jest sprzeczny, gdy którykolwiek z wyznaczników   jest niezerowy. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeśli wszystkie wyznaczniki są zerowe, to układ nie musi być nieoznaczony (wiadomo jedynie, że nie jest oznaczony, czyli może być tak sprzeczny, jak i nieoznaczony).

Stosowanie wzorów Cramera do rozwiązywania „konkretnych” układów wymaga z reguły więcej obliczeń niż stosowanie metody Gaussa, jednak metoda Cramera bywa dogodniejsza w rozważaniach teoretycznych.

Inne metodyEdytuj

Układy trzech czy nawet czterech zmiennych łatwo rozwiązać ręcznie (najlepiej metodą Gaussa); do większych stosuje się często komputery. Standardowe podejście opiera się na metodzie eliminacji Gaussa. Bardzo ważne jest unikanie dzielenia przez małe liczby, które może prowadzić do błędów zaokrągleń – można to osiągnąć poprzez zmianę kolejności równań (druga operacja elementarna). Ponadto w szczególnym przypadku, gdy dane układy mają tę samą macierz główną, lecz różne macierze rozszerzone (tzn. układy mają te same współczynniki, lecz różne wyrazy wolne), to pomocne okazuje się wyznaczenie rozkładu LU macierzy głównej.

Często możliwe jest wykorzystanie szczególnej postaci macierzy głównej układu do uzyskania szybszych bądź dokładniejszych algorytmów. Przykładowo układy z symetrycznymi i dodatnio określonymi macierzami głównymi mogą być rozwiązane dużo szybciej za pomocą rozkładu Cholesky’ego. Rekursja Levinsona jest z kolei szybką metodą rozwiązywania układów opisanych macierzą Toeplitza. Istnieją także specjalne metody dla macierzy z wieloma zerami (tzw. macierzy rzadkich), które pojawiają się często w zastosowaniach matematyki.

W zupełnie inny sposób podchodzi się do bardzo dużych układów, których rozwiązanie kosztowałoby zbyt dużo czasu lub pamięci. Idea polega na rozpoczęciu od wstępnego przybliżenia rozwiązania (które wcale nie musi być dokładne) i stopniowym jego poprawianiu. Jeśli jest ono wystarczająco dokładne, to właśnie ono przyjmowane jest jako rozwiązanie układu. Tego rodzaju podejście prowadzi do metod iteracyjnych.

CharakteryzacjaEdytuj

 
Zbiór rozwiązań dwóch równań liniowych o trzech zmiennych zwykle tworzy prostą (przestrzeń jednowymiarową)

O niesprzeczności i liczbie rozwiązań układu   równań liniowych o   niewiadomych mówi twierdzenie Kroneckera-Capellego: ma on rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd   macierzy głównej tego układu jest równy rzędowi   jego macierzy rozszerzonej. Układ jednorodny zawsze ma rozwiązanie trywialne, tzn. postaci   jest to jedyne rozwiązanie oznaczonego układu jednorodnego. Układ niesprzeczny jest

  • oznaczony, tzn. ma jedno rozwiązanie, gdy rząd macierz głównej układu jest równy liczbie niewiadomych;
  • nieoznaczony, tzn. nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rząd macierzy głównej układu jest mniejszy od liczby niewiadomych – zbiór rozwiązań zależy wtedy od   parametrów.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej rozwiązania układu tworzą przestrzeń liniową (w przypadku jednorodnym) albo przestrzeń afiniczną (w przypadku niejednorodnym) wymiaru   W szczególności więc, jeśli   to rozwiązaniem jest punkt.

Niech   oznacza zbiór rozwiązań układu jednorodnego   Ponieważ układ jest jednorodny, to   nie jest pusty. Niech   należą do   tzn.   oraz   skąd   czyli   również należy do   a więc   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni współrzędnych. Ponieważ przekształcenie macierzy układu do postaci schodkowej zredukowanej nie zmienia zbioru rozwiązań   układu, to pierwsze   wierszy jest kombinacją liniową ostatnich   liniowo niezależnych wierszy; w ten sposób również   kolumn tej macierzy tworzy bazę przestrzeni   (w gruncie rzeczy wykorzystuje się tu pojęcie rzędu; w ogólności powyższe obserwacje są równoważne twierdzeniu o rzędzie przekształcenia liniowego).

Teraz niech   będzie zbiorem rozwiązań układu niejednorodnego   ponieważ   to zbiór ten nie jest pusty. Niech   będzie ustalonym rozwiązaniem, a   dowolnym rozwiązaniem układu; wówczas z   oraz   wynika   czyli   należy do zbioru   rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego. Wraz z nim do   należy również rozwiązanie przeciwne   skąd   co wobec dowolności   oznacza   Jeśli zaś   gdzie   należy do   a   należy do   to   czyli   należy do   a więc   Wynika stąd, że zbiór rozwiązań układu niejednorodnego jest warstwą podprzestrzeni liniowej rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego, zatem jest podprzestrzenią afiniczną tej samej przestrzeni współrzędnych.

UogólnieniaEdytuj

 
Rozwiązania nieoznaczonych układów niejednorodnych tworzą podprzestrzeń afiniczną

Z punktu widzenia geometrii analitycznej układ   równań o   zmiennych odpowiada zadaniu   hiperpłaszczyzn w  -wymiarowej przestrzeni liniowej (lub przestrzeni afinicznej), rozwiązaniem (ogólnym) jest wtedy przestrzeń będąca częścią wspólną wszystkich hiperpłaszczyzn.

Stosując notację wektorową, można wykorzystać do opisu układów równań liniowych cały aparat algebry liniowej. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych układu wektorów nazywa się powłoką liniową; w ten sposób układ równań ma rozwiązanie, jeśli wektor   leży w powłoce generowanej przez wektory   Jeżeli każdy wektor powłoki można wyrazić jednoznacznie jako kombinację liniową wektorów   to układ jest oznaczony. W każdej powłoce można wyróżnić bazę złożoną z liniowo niezależnych wektorów, dzięki którym wspomniane wyrażenie może być jednoznaczne; liczba wektorów w bazie (wymiar) nie może być większy niż   czy   ale może być mniejsza. Rozwiązanie istnieje, gdy powłoka składa się z   liniowo niezależnych wektorów.

Najogólniejszą postacią przekształcenia liniowego   między dwoma przestrzeniami liniowymi jest kombinacja liniowa zadających go wektorów   (zob. twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie). Samo przekształcenie liniowe   przy ustalonych bazach dziedziny i przeciwdziedziny, można zapisać w postaci macierzy   Wówczas obliczaniu wartości   odpowiada mnożenie   a rozwiązywanie układu równań jednorodnych jest w istocie wyznaczaniem miejsc zerowych przekształcenia liniowego   Przedstawione w poprzedniej sekcji rozumowanie jest przypadkiem szczególnym ogólnego wyniku – zbiór miejsc zerowych przekształcenia liniowego, nazywany jego jądrem, tworzy podprzestrzeń liniową w dziedzinie tego przekształcenia. Wymiar powłoki wspomniany w poprzednim akapicie w przypadku macierzy nazywa się jej rzędem (wierszowym). W ten sposób układ równań liniowych   można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego   przy czym istnienie rozwiązań jest tożsame z należeniem   do obrazu   (czyli istnieniem takiego wektora   który spełniałby  ), a ich jednoznaczność jest równoważna trywialności jądra   (czyli różnowartościowości przekształcenia). Zależność między wymiarami jądra i obrazu opisuje tzw. twierdzenie o rzędzie przekształcenia liniowego.

Powyższe obserwacje dotyczące przestrzeni i przekształceń liniowych dla układów jednorodnych zachodzą mutatis mutandis dla przestrzeni i przekształceń afinicznych w przypadku niejednorodnym. W szczególności dowolne rozwiązanie układu niejednorodnego jest translacją rozwiązania odpowiadającego mu układu jednorodnego. Ponadto przekształceniu afinicznemu   przestrzeni  -wymiarowej w przestrzeń  -wymiarową odpowiada przekształcenie liniowe

 

przestrzeni  -wymiarowej w przestrzeń  -wymiarową (każda przestrzeń afiniczna może być zanurzona w przestrzeni liniowej wyższego wymiaru). Ostatni wiersz macierzy można pominąć bez utraty ogólności, co tłumaczy obserwację poczynioną w sekcji postać i zapis.

PrzypisyEdytuj

  1. F.P. Sayer. Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations. „IMA Journal of Numerical Analysis”. 1983 3(3):333-340. DOI: 10.1093/imanum/3.3.333. [dostęp 6 stycznia 2009]. 

Linki zewnętrzneEdytuj