Uogólnienie twierdzenia

Uogólnienie twierdzenia – zagadnienie logiki matematycznej oraz dydaktyki matematyki. Ogólniejszy przypadek danego twierdzenia, to jest taki, którego to twierdzenie jest pewnym przypadkiem szczególnym (jednym z przypadków i da się je wyprowadzić z twierdzenia uogólnionego).

Niech będzie dana pewna teoria oraz jej twierdzenia:

$P:\forall _{x}Z(x)\Rightarrow T(x),$

$P':\forall _{x}Z'(x)\Rightarrow T'(x),$

gdzie zakresem zmiennej $x$ jest pewien ustalony zbiór.

Gdy w rozważanej teorii zachodzą warunki:

1. $\forall _{x}Z(x)\Rightarrow Z'(x),$
2. $\forall _{x}Z'(x)\Rightarrow Z(x),$
3. $\forall _{x}Z(x)\wedge T'(x)\Rightarrow T(x),$

to $P'$ jest uogólnieniem twierdzenia $P$.

Przykład

• $P{:}$ Jeżeli A, B, C są wierzchołkami trójkąta prostokątnego o kącie prostym przy wierzchołku C, to $|AB|^{2}=|BC|^{2}+|AC|^{2}$ (twierdzenie Pitagorasa).
• $P'{:}$ Jeżeli A, B, C są różnymi punktami, to: $|AB|^{2}=|BC|^{2}+|AC|^{2}-2\cdot |BC|\cdot |AC|\cdot \cos \measuredangle ACB$ (twierdzenie cosinusów).

Twierdzenie $P'$ jest uogólnieniem twierdzenia $P$ (twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów – dla kąta prostego).