Otwórz menu główne

Uzwarcenie (kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte) – rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Definicja formalnaEdytuj

Uzwarceniem przestrzeni   nazywamy parę   taką, że   jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś   jest zanurzeniem homeomorficznym oraz   jest gęstym podzbiorem   Jeśli dodatkowo   czyli   jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie   nazywa się uzwarceniem Hausdorffa  .

Zwykle pomija się zanurzenie   szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń   jest uzwarceniem przestrzeni  . Często też utożsamiamy punkty   z ich obrazami   i traktujemy   jako podprzestrzeń przestrzeni  

Jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Uzwarcenie jednopunktoweEdytuj

Niech   będzie niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną i niech   będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru   Połóżmy   i

  i   jest zwartym podzbiorem  

Wówczas   jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe   jest zanurzeniem homeomorficznym i   jest gęstym podzbiorem. Tak więc   jest uzwarceniem przestrzeni   Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T2. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej   jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy   jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń   jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia   jako że wtedy   nie będzie gęstym podzbiorem   Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna[1] w 1929.

Uzwarcenia HausdorffaEdytuj

Każda zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ „bycie przestrzenią Tichonowa” jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna   ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń   musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń   może być zanurzona w produkt   pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń   jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna   ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią całkowicie regularną.

Uzwarcenia Čecha-Stone’aEdytuj

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej   jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a   Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

  • Twierdzenie Stone’a: Każda całkowicie regularna przestrzeń   ma uzwarcenie Hausdorffa   takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni   w zwartą przestrzeń T2 może być przedłużone na  
  • Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń   ma uzwarcenie Hausdorffa   takie, że każde dwa podzbiory   oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie   jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na  ). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni   jest ciągłym obrazem przestrzeni   przez odwzorowanie które jest identycznością na  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929).