Uzwarcenie Čecha-Stone’a

Uzwarcenie Čecha-Stone’a – maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania . Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a[2] w 1937.

Określenie i konstrukcjaEdytuj

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu   wagi   jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa   Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli   i   są uzwarceniami danej przestrzeni   to można zdefiniować między nimi relację

  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła   spełniająca warunek  

Ponadto, jeżeli

  oraz  

to istnieje homeomorfizm   spełniający warunek

 

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni   jest klasą właściwą. Relacja   pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji – zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony,   jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby   gdzie   oznacza gęstość przestrzeni   Spostrzeżenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni   z podzbiorem kostki Tichonowa   co pozwala już rozważać zbiór   (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni  

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór   ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w   istnieje element największy – element ten oznaczany jest symbolem   i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni  

WłasnościEdytuj

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone’a   przestrzeni   Następujące twierdzenie[3], podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech   będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną   Wówczas   ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie   które ma następujące równoważne własności:

  1. każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni   w zwartą przestrzeń   może być przedłużone (jednoznacznie) na  
  2. każde uzwarcenie przestrzeni   jest ciągłym obrazem przestrzeni   przez odwzorowanie które jest identycznością na  
  3. każda ograniczona funkcja ciągła   ma przedłużenie ciągłe na  
  4. jeśli     są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na   to
 
  1. rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z   w   mają rozłączne domknięcia w  
  2. każde dwa podzbiory   oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w  
  3. każdy punkt w   jest granicą jedynego  -ultrafiltru na  

Konstrukcja Edytuj

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie   w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące   Niech   będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni   w odcinek domknięty   i niech zbiór   wszystkich funkcji z   w   będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka   Wyposażmy   w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

 

Sprawdza się, że   jest homeomorfizmem z   na   (gdzie   jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni  ). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń   jest zwarta. Niech   będzie domknięciem   w   Wówczas   jest uzwarceniem   przestrzeni  

Dla funkcji ciągłej   rozważmy funkcję   daną przez warunek   Można łatwo zweryfikować, że   jest funkcją ciągłą oraz   dla   Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że   spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Uzwarcenie przestrzeni liczb naturalnychEdytuj

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie   przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną.   jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów  

Niech   będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na   Dla zbioru   niech

 

Wówczas rodzina

 

jest bazą pewnej topologii   na   Przestrzeń topologiczna   jest zwartą przestrzenią   a funkcja

 

odwzorowująca liczbę   na ultrafiltr główny generowany przez   jest zanurzeniem homeomorficznym którego obraz jest gęsty w   Zatem   jest uzwarceniem przestrzeni   i można sprawdzić że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a.

Przykładowe własności  

  • Przestrzeń   jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi   (istnieje przy tym baza mocy   złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
  •   jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do   jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
  •   jest mocy  
  • Jeśli   to   nie jest zbiorem typu Gδ.
  • Jeśli CH jest prawdziwa i   to   nie jest przestrzenią normalną.
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy   jest ciągłym obrazem  
  •   zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni   (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym  ).
  • Przestrzeń Banacha   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią   (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Eduard Čech, On bicompact spaces, „Ann. of Math.” (2) 38 (1937), no. 4, s. 823–844.
  2. Marshall H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology, „Transactions of the American Mathematical Society” 41 (1937), no. 3, s. 375–481.
  3. Russell C. Walker, The Stone-Čech compactification, „Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete”, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ​ISBN 0-387-06699-3​.