Węzły Czebyszewa

W analizie numerycznej węzły Czebyszewa są specyficznymi rzeczywistymi liczbami algebraicznymi, mianowicie pierwiastkami wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju. Są często używane jako węzły w interpolacji wielomianowej, ponieważ wynikowy wielomian interpolacyjny minimalizuje efekt Rungego, czyli duże oscylacje wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Węzły Czebyszewa są równoważne współrzędnym $n$ na osi $x$ równo rozmieszczonych punktów na półokręgu jednostki (tutaj dla $n=10$).

Definicja

Miejsca zerowe pierwszych 50 wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju

Dla danej liczby całkowitej $n$ węzły Czebyszewa w przedziale $(-1,1)$ to

$x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\dots ,n.$

Są to pierwiastki wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju stopnia $n.$ Dla węzłów w dowolnym przedziale $[a,b]$ można zastosować przekształcenie afiniczne:

$x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\dots ,n.$

Aproksymacja

Węzły Czebyszewa są ważne w teorii aproksymacji, ponieważ tworzą szczególnie dobry zestaw węzłów do interpolacji wielomianowej. Biorąc pod uwagę funkcję $f$ na przedziale $[-1,+1]$ i n punktów $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},$ w tym przedziale, wielomian interpolacyjny jest unikalnym wielomianem $P_{n-1}$ stopnia co najwyżej $n-1,$ który ma wartość $f(x_{i})$ w każdym punkcie $x_{i}.$ Błąd interpolacji w $x$ jest równy

$f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$

dla pewnego $\xi$ Więc logiczne jest, aby próbować zminimalizować

$\max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.$

Ten produkt jest unormowanym wielomianem stopnia $n.$ Można wykazać, że maksymalna wartość bezwzględna (maksymalna norma) dowolnego takiego wielomianu jest ograniczona od dołu przez $2^{1-n}.$ Ta granica jest osiągana przez skalowane wielomiany Czebyszewa $2^{1-n}T_{n},$ które również są moniczne. Zauważmy, że $|T_{n}(x)|\leqslant 1$ dla $x\in [-1,1]$. Dlatego też, gdy węzły interpolacji $x_{i}$ są pierwiastkami $T_{n},$ błąd spełnia:

$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leqslant {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

Dla dowolnego przedziału $[a,b]$ zmiana zmiennej pokazuje, że:

$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leqslant {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

Zobacz też

• Richard L.R.L. Burden Richard L.R.L., J. DouglasJ.D. Faires J. DouglasJ.D., Numerical analysis, wyd. 8, s. 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .