Własność Darboux

Własność Darboux – jedna z najważniejszych własności funkcji ciągłych.

Funkcja ma własność Darboux, jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności:

Jeżeli obraz funkcji obejmuje cały przedział (albo ), więc istnieje taka wartość należąca do przedziału otwartego że

Mówimy że funkcja między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni jest podzbiorem spójnym przestrzeni (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.)

  • Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład funkcja
ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.
  • Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można[1] znaleźć taką funkcję o własności Darboux, że nawet funkcja nie ma własności Darboux.
  • Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.

PrzypisyEdytuj

  1. T. Radakovič, Über Darbouxsche und stetige Funktionen, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s. 117–122.