Własność skończonych przekrojów

Własność skończonych przekrojów – własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja formalna

edytuj

Mówimy, że rodzina zbiorów   ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy,   ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych     mamy, że  

Często zamiast mówić, że   ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że   ma fip, używając skrótu od ang. finite intersection property.

Przykłady, własności, zastosowanie

edytuj
  • Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:
(i)   gdzie   są zbiorami niepustymi,
(ii)  
(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które mają dopełnienie skończone,
(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka   które mają miarę Lebesgue’a 1.
  • Jeśli   jest rodziną podzbiorów zbioru   z własnością skończonych przekrojów, to zbiór
  dla pewnych    
jest filtrem podzbiorów   Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów   zawierający   (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC).
(a)   jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów   która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,
(b)   jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów   która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też

edytuj