Otwórz menu główne

Wariancja – klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej oznaczana jako lub zdefiniowana jest wzorem:

gdzie:

jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
jest wartością oczekiwaną zmiennej

Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto oraz jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

EstymatoryEdytuj

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

 

a dla szeregu rozdzielczego:

 

Wariancja próby losowej o wartościach   gdzie   jest następująca:

 

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

 

jest zgodnym, lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

 

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną   w populacji, wówczas estymator

 

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancjiEdytuj

Dla zmiennych losowych     i dowolnych stałych   zachodzą następujące własności:

1.  

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:

 

2.  

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa   jest dodatnio określona, mamy:

 

3.  

Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:

 

4.  

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że   dla   stałej i z liniowości:

 

5.   w ogólnym przypadku; (gdzie   to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:

 
 

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:

 

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne   i   są niezależne liniowo, zachodzi:

 

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 84. ISBN 83-89716-01-1.