Wariancja – klasyczna miara zmienności . Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej .
Wariancja zmiennej losowej
X
,
{\displaystyle X,}
Var
[
X
]
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]}
D
2
(
X
)
,
{\displaystyle D^{2}(X),}
Var
[
X
]
=
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
,
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E[(X-\mu )^{2}],}
gdzie:
E
[
…
]
{\displaystyle E[\dots ]}
wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
μ
{\displaystyle \mu }
X
.
{\displaystyle X.}
Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:
D
2
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
[
E
(
X
)
]
2
.
{\displaystyle D^{2}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.}
Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.
Jeżeli ponadto
E
X
2
⩽
∞
{\displaystyle \mathbb {E} X^{2}\leqslant \infty }
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
σ-ciałem zdarzeń , to wariancją warunkową nazywamy:
V
a
r
(
X
|
G
)
:=
E
(
(
X
−
E
(
X
|
G
)
)
2
|
G
)
.
{\displaystyle Var(X|{\mathcal {G}}):=\mathbb {E} {\Big (}{\big (}X-{\mathcal {E}}(X|{\mathcal {G}}){\big )}^{2}{\Big |}\ {\mathcal {G}}{\Big )}.}
Spis treści
Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
m
)
2
,
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2},}
a dla szeregu rozdzielczego :
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
k
n
i
⋅
(
x
i
−
m
)
2
.
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot (x_{i}-m)^{2}.}
Wariancja próby losowej o wartościach
x
i
,
{\displaystyle x_{i},}
i
=
1
,
2
,
3
,
…
,
{\displaystyle i=1,2,3,\dots ,}
σ
2
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
.
{\displaystyle \sigma ^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.}
Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności :
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}
jest zgodnym , lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie ). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora :
s
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
.
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}.}
W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną
μ
{\displaystyle \mu }
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}
jest już nieobciążony i zgodny.
Dla zmiennych losowych
X
,
{\displaystyle X,}
Y
{\displaystyle Y}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\ b,\ c}
1.
D
2
(
c
)
=
0
{\displaystyle D^{2}(c)=0}
Dowód . Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:
D
2
(
c
)
=
E
[
(
c
−
E
c
)
2
]
=
E
[
0
2
]
=
E
[
0
]
=
0.
{\displaystyle D^{2}(c)=E[(c-Ec)^{2}]=E[0^{2}]=E[0]=0.}
2.
D
2
(
X
)
⩾
0
{\displaystyle D^{2}(X)\geqslant 0}
Dowód . Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa
(
X
−
E
X
)
2
{\displaystyle (X-EX)^{2}}
D
2
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
X
)
2
]
⩾
0.
{\displaystyle D^{2}(X)=E[(X-EX)^{2}]\geqslant 0.}
3.
D
2
(
a
⋅
X
)
=
a
2
⋅
D
2
(
X
)
{\displaystyle D^{2}(a\cdot X)=a^{2}\cdot D^{2}(X)}
Dowód . Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:
D
2
(
a
⋅
X
)
=
E
[
(
a
X
−
E
(
a
X
)
)
2
]
=
E
[
(
a
X
−
a
E
X
)
2
]
=
E
[
(
a
(
X
−
E
X
)
)
2
]
=
E
[
a
2
(
X
−
E
X
)
2
]
=
a
2
E
[
(
X
−
E
X
)
2
]
=
a
2
⋅
D
2
(
X
)
.
{\displaystyle D^{2}(a\cdot X)=E[(aX-E(aX))^{2}]=E[(aX-aEX)^{2}]=E[(a(X-EX))^{2}]=E[a^{2}(X-EX)^{2}]=a^{2}E[(X-EX)^{2}]=a^{2}\cdot D^{2}(X).}
4.
D
2
(
X
+
b
)
=
D
2
(
X
)
{\displaystyle D^{2}(X+b)=D^{2}(X)}
Dowód . Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że
E
c
=
c
{\displaystyle Ec=c}
c
{\displaystyle c}
D
2
(
X
+
b
)
=
E
[
(
X
+
b
−
E
(
X
+
b
)
)
2
]
=
E
[
(
X
+
b
−
E
X
−
E
b
)
2
]
=
E
[
(
X
+
b
−
E
X
−
b
)
2
]
=
E
[
(
X
−
E
X
)
2
]
=
D
2
(
X
)
.
{\displaystyle D^{2}(X+b)=E[(X+b-E(X+b))^{2}]=E[(X+b-EX-Eb)^{2}]=E[(X+b-EX-b)^{2}]=E[(X-EX)^{2}]=D^{2}(X).}
5.
D
2
(
X
±
Y
)
=
D
2
(
X
)
+
D
2
(
Y
)
±
2
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)}
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}
kowariancja )
Dowód . Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:
D
2
(
X
+
Y
)
=
E
[
(
X
+
Y
−
E
(
X
+
Y
)
)
2
]
=
E
[
(
X
+
Y
−
E
X
−
E
Y
)
2
]
=
E
[
(
(
X
−
E
X
)
+
(
Y
−
E
Y
)
)
2
]
=
{\displaystyle D^{2}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y))^{2}]=E[(X+Y-EX-EY)^{2}]=E[((X-EX)+(Y-EY))^{2}]=}
=
E
[
(
X
−
E
X
)
2
+
2
(
X
−
E
X
)
(
Y
−
E
Y
)
+
(
Y
−
E
Y
)
2
]
=
…
{\displaystyle =E[(X-EX)^{2}+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY)^{2}]=\dots }
Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji , mamy:
⋯
=
E
[
(
X
−
E
X
)
2
]
+
2
E
[
(
X
−
E
X
)
(
Y
−
E
Y
)
]
+
E
[
(
Y
−
E
Y
)
2
]
=
D
2
(
X
)
+
D
2
(
Y
)
+
2
Cov
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle \dots =E[(X-EX)^{2}]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY)^{2}]=D^{2}(X)+D^{2}(Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y).}
Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
D
2
(
X
±
Y
)
=
D
2
(
X
)
+
D
2
(
Y
)
.
{\displaystyle D^{2}(X\pm Y)=D^{2}(X)+D^{2}(Y).}
Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe .
Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe ).
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79297a808478243e9aab0b27dd1ab583c0f877d)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E[(X-\mu )^{2}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5255040d053a96647b76569e496a1dafa2a0f0)
![{\displaystyle E[\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a937ae581caf4a7991e6e2d38af9f3ad58d97e10)
![{\displaystyle D^{2}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab81f73567e5a94ca0596c592f1a2ad15f800c3)
![{\displaystyle D^{2}(c)=E[(c-Ec)^{2}]=E[0^{2}]=E[0]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4c15ecc1a314e38cb6f5126924d225b52a3fee)
![{\displaystyle D^{2}(X)=E[(X-EX)^{2}]\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d930705229d26d19ae2293353a1beda7eb68d5)
![{\displaystyle D^{2}(a\cdot X)=E[(aX-E(aX))^{2}]=E[(aX-aEX)^{2}]=E[(a(X-EX))^{2}]=E[a^{2}(X-EX)^{2}]=a^{2}E[(X-EX)^{2}]=a^{2}\cdot D^{2}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e4550820c000785e145acefed4822880f423d2)
![{\displaystyle D^{2}(X+b)=E[(X+b-E(X+b))^{2}]=E[(X+b-EX-Eb)^{2}]=E[(X+b-EX-b)^{2}]=E[(X-EX)^{2}]=D^{2}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d51331b177f86e82ac692e6f259a93ca273f9b)
![{\displaystyle D^{2}(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y))^{2}]=E[(X+Y-EX-EY)^{2}]=E[((X-EX)+(Y-EY))^{2}]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7961b94b757c7e818964dce741a703f68ad2c2aa)
![{\displaystyle =E[(X-EX)^{2}+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY)^{2}]=\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081cab646652e0094bed3edc86cae80d991e7db6)
![{\displaystyle \dots =E[(X-EX)^{2}]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY)^{2}]=D^{2}(X)+D^{2}(Y)+2\operatorname {Cov} (X,Y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1ffcd293a6548f298b82ad6851b8108d191647)
