Wartość własna układu

Wartości własne układu – miejsca zerowe wielomianu charakterystycznego układu, czyli pierwiastki równania charakterystycznego. Wartości własne układu są zarazem wartościami własnymi macierzy układu. Tylko wśród wartości własnych mogą się znaleźć bieguny układu – bieguny transmitancji operatorowej (zob. też biegun na płaszczyźnie zespolonej), tzn. miejsca zerowe mianownika transmitancji, przy których transmitancja przestaje być określona.

Niech dana będzie transmitancja

i odpowiadające jej równania stanu (dla modelu ciągłego) w postaci:

gdzie:

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

wówczas równanie charakterystyczne ma postać:

Wartości własne układu są pierwiastkami powyższego równania charakterystycznego i zarazem wartościami własnymi macierzy układu co wynika z powyższego określenia.

Ważną cechą wartości własnych macierzy jest to, że są one niezmiennicze dla klasy macierzy podobnych (cecha podobieństwa łączy np. macierz ze wszystkimi macierzami typu ). Potwierdza to spostrzeżenie, że nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez wartości własne, które są jednoznaczne w odróżnieniu od współrzędnych stanu i macierzy układu.

Zasadnicze znaczenie ma związek wartości własnych z przebiegami dynamicznymi w układzie. Można to zauważyć rozpatrując liniowy dynamiczny układ swobodny. Macierz podstawowa rozwiązań tego układu jest transformatą odwrotną macierzy Wspólnym mianownikiem wszystkich elementów macierzy jest wyznacznik czyli wielomian charakterystyczny, który można zapisać w postaci rozłożonej na czynniki

Wobec tego transformata odwrotna macierzy powinna zawierać wśród swoich elementów wszystkie wyrażenia o postaci Stąd wynika wniosek ogólny: jeśli w rozwiązaniu swobodnym pojawił się wyraz (gdzie było wartością własną), to również w rozwiązaniu swobodnym układu -tego rzędu pojawią się wyrażenia typu przy czym są wartościami własnymi.

W kontekście równań stanu wartości własne (ściślej wartości własne macierzy układu) bywają też nazywane modami (ang. mode). Przy realizacji układu z macierzą diagonalną (zob. macierz układu w postaci diagonalnej), jeśli bieguny układu są rzeczywiste i pojedyncze, to znajdują się one na przekątnej macierzy układu. Każde z równań w takim układzie (odpowiadające wartości własnej leżącej na przekątnej macierzy układu) reprezentuje inną zmienną stanu (inną składową wektora stanu) i osobny sposób zachowania (ang. mode of behaviour). Stąd też utożsamienie wartości własnych (biegunów) z modami układu. Istotnie przez mod rozumie się wówczas składową obecną w przebiegu czasowym związaną z danym biegunem układu. O ile bieguny obrazują zachowanie układu w dziedzinie s, to mody związane są z charakterystykami czasowymi układu (charakterystykami obrazującymi zachowanie układu w dziedzinie czasu).

Innymi słowy: odpowiedź swobodna układu dynamicznego jest zależna przede wszystkim od wartości własnych macierzy Każda ze składowych tej odpowiedzi może być bowiem wyrażona przez kombinację liniową (sumę) składników o postaci typu (a w przypadku wartości własnych zespolonych także typu i gdzie odpowiadają określonym składowym zespolonych wartości własnych – rzeczywistym i urojonym) mnożonych ewentualnie przez w odpowiedniej potędze. Przyjęło się nazywać wartości własne biegunami układu opisanego jednorodnym równaniem stanu, zaś wyżej wymienione eksponencjalne i harmoniczne składniki tej odpowiedzi modami tego układu.

Aby zmienić sposób zachowania układu można stłumić niektóre mody, co odpowiada właściwej selekcji modu i właściwej zmianie położenia odpowiadającego mu bieguna. Stosuje się wówczas przesuwanie biegunów zwane też sterowaniem modalnym. Przesuwanie biegunów to jedna z fundamentalnych technik projektowania układów regulacji. Całkowite stłumienie modu polega na „skasowaniu” odpowiedniego czynnika w mianowniku transmitancji układu (czyli bieguna układu) przez odpowiedni czynnik w liczniku transmitancji układu (czyli przez zero układu). Z uwagi na problemy ze stabilnością w przypadku niedokładnego „kasowania”, działanie takie jest odpowiednie tylko w przypadku biegunów leżących w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny S.

Zobacz teżEdytuj