Warunki Dirichleta

Warunki Dirichleta – warunki wystarczające, aby dowolna funkcja rzeczywista, określona na przedziale otwartym $(a,b)$ posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka P.G.J. Dirichleta.

Warunki Dirichleta

Przypuśćmy, że funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ jest określona na skończonym przedziale $(a,b)$ i spełnia dwa warunki (zwane warunkami Dirichleta):

1. $f(t)$ jest przedziałami monotoniczna w przedziale $(a,b)$ - tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
2. $f(t)$ jest ciągła w przedziale $(a,b)$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

   $f(t_{0})={\tfrac {1}{2}}[f(t_{0+})+f(t_{0-})]$

Funkcja określona w przedziale domkniętym $\langle a,b\rangle$ i spełniająca w jego wnętrzu pierwszy i drugi warunek Dirichleta jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Funkcje spełniające pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym na osi liczbowej są całkowalne w każdym przedziale skończonym. Przy założeniu dodatkowo zbieżności całki niewłaściwej

$\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\;dt<+\infty$

wynika stąd ponadto tzw. bezwzględna całkowalność w przedziale $(-\infty ,\infty )$, tzn. bezwzględna zbieżność całki

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;dt<+\infty$

Uwagi:

1. Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek. Ten sam wymóg dotyczy obliczania transformaty Fouriera z danej funkcji.
2. Dla funkcji okresowej (co typowo dotyczy obliczeń szeregów Fouriera) warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale $(a,a+T)$ o długości równej okresowi funkcji $T$.
3. Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniał szereg Fouriera i całka Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne - istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają szereg i całkę Fouriera - są to jednak funkcje niespotykane w praktycznych zastosowaniach.

Zobacz też

• składowa harmoniczna

Bibliografia

• W.W. Żakowski W.W., W.W. Leksiński W.W., Matematyka cz. IV, Warszawa: Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1978, s. 351 ..

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].