Wektor Riemanna-Silbersteina

Wektor Riemanna-Silbersteina – w elektrodynamice klasycznej, wektor zbudowany z wektorów pola elektrycznego i magnetycznego.

W odróżnieniu od wektora Poyntinga ma znaczenie fizyczne tylko w kwantowej interpretacji równań Maxwella jako funkcja falowa fotonu. Po pomnożeniu równań Maxwella stronami przez stałą Diraca, pozwala interpretować ich część dynamiczną w zwięzłej formie jako równanie Schrödingera dla fotonu.

Wyraża się wzorem:

Równanie Schrödingera dla fotonu w próżni ma postać

gdzie jest wektorem z macierzy spinu o długości 1.

W odróżnieniu do funkcji falowej elektronu, funkcja falowa fotonu jest znormalizowana w sposób egzotyczny z jądrem całkowym, tzn.

Pozostałe dwa równania Maxwella stają się dodatkowymi więzami, tzn.

i są spełnione automatycznie jeśli tylko są spełnione w chwili początkowej tzn.

gdzie jest jakimkolwiek zespolonym polem wektorowym o nieznikającej rotacji, czyli potencjałem wektorowym dla wektora Riemanna-Silbersteina.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla fotonuEdytuj

Użycie wektora Riemanna-Silbersteina jako funkcji falowej fotonu pokazuje, że fotony są cząstkami „dużo bardziej kwantowymi” niż elektrony i okazuje się, że są one w dobrym przybliżeniu polami spinorowymi normalnie unormowanymi do 3 ze składowymi unormowanymi do 1, tzn.

 

gdzie nowe   są wynikiem podzielenia wektora Riemanna-Silbersteina przez pierwiastek z jakiejś energii podstawowej normalizującej gęstość energii do gęstości prawdopodobieństwa.

Zasada nieoznaczoności dla elektronu w trzech wymiarach jest dana przez

 

Z definicji normy dla dużych wartości   jądro podcałkowe obniża wartość wyrażenia tak, że normalna całka normalizacyjna jak dla elektronu jest z reguły większa niż 1. Załóżmy że fotony są polem spinorowym unormowanym tak, że każda z jego składowych unormowana jest do 1, tzn. jest normalną skalarną funkcja falowa.

Z zasady nieoznaczoności dla cząstki opisanej funkcją skalarną zachodzi

 

W celu oszacowania minimum prawej strony uzyskuje się bezpośrednio, iż

 

By oszacować trzy człony krzyżowe typu

 

należy założyć (z zasady nieoznaczoności dla każdej składowej), że jedna część sumy jest dowolnie mała,

 

wtedy

 

i człony krzyżowe minimalizuje się minimalizując wyrażenie

 

skąd

 

tzn.

 

Zbierając razem powyższe, otrzymuje się zasadę nieoznaczoności dla fotonu

 

lub

 

co okazuje się bliskie dokładnej wartości wyprowadzonej metodami wariacyjnymi[1] i bez uproszczenia normy

 

Fotony okazują się więc cząstkami   a więc prawie 3 razy „bardziej kwantowymi” niż np. elektron.

PrzypisyEdytuj

  1. Bialynicki-Birula, Iwo. Uncertainty Relation for Photon. „Phys. Rev. Lett.”. 108, s. 140401-1-5, 2012. 

Linki zewnętrzneEdytuj