Wiązka styczna

Wiązka styczna $\mathrm {T} M$ do rozmaitości różniczkowej $M$ – zbiór wszystkich przestrzeni stycznych $\mathrm {T} _{x}M$ do poszczególnych punktów $x$ rozmaitości.

(Góra) Wiązka styczna do okręgu – zbiór wszystkich stycznych do okręgu. (Dół) Fakt, że styczne traktuje się jako niezależne elementy pokazano na rysunku u dołu poprzez obrócenie stycznych tak, by nie przecinały się (de facto styczne w wiązce pozostają bez zmian kierunku).

Topologia wiązki stycznej

Wiązka styczna posiada naturalną topologię: jeżeli rozmaitość jest klasy $\mathbb {C} ^{k},$ $k\geqslant 1,$ to wraz z topologią wiązek stycznych tworzy rozmaitość topologiczną klasy $\mathbb {C} ^{k-1}.$

Elementy wiązki stycznej

Niech $\mathrm {T} _{x}M$ oznacza przestrzeń styczną do $M$ w punkcie $x\in M,$ a $v$ – wektor styczny do $M$ w punkcie $x,$ $v\in \mathrm {T} _{x}M.$ Wtedy:

Elementami wiązki stycznej $\mathrm {T} M$ są pary $(x,v).$

Przykład

Jeżeli rozmaitością $M$ jest krzywa (np. okręgiem, parabolą itp.), to:

• przestrzeń styczna $\mathrm {T} _{x_{1}}M$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie $x_{1},$
• przestrzeń styczna $\mathrm {T} _{x_{2}}M$ – to prosta styczna do krzywej w punkcie $x_{2},$
• itd.

Zbiór wszystkich prostych, stycznych do krzywej w poszczególnych jej punktach, razem z tymi punktami, tworzy wiązkę styczną danej krzywej $M.$

Jeżeli krzywa $M$ jest krzywą opisaną równaniami klasy $\mathbb {C} ^{1},$ to wiązka styczna jest rozmaitością topologiczną klasy $\mathbb {C} ^{0}.$

Zobacz też

• wiązka kostyczna
• wiązka wektorowa

Linki zewnętrzne

• Tangent bundle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].