Więzy układu mechanicznego

Więzy układu mechanicznego to warunki nakładające ograniczenia na położenia (więzy skończone, geometryczne) i prędkości (więzy różniczkowe, kinematyczne) punktów tego układu. Więzy mogą być dwu rodzajów: stacjonarne (skleronomiczne) i niestacjonarne (reonomiczne) w zależności od tego czy zależą one od czasu czy też nie.

Więzy geometryczne dwustronne

Punkt pojedynczy

Punkt materialny nazywamy swobodnym, jeżeli punkt ten może zajmować dowolne położenie w przestrzeni. Jeżeli jednak z góry dany jest obszar geometryczny, w granicach którego rozważany punkt może się poruszać, to sam punkt nazywamy nieswobodnym, a warunki ograniczające jego swobodę – więzami geometrycznymi. Ten obszar może być jedno-, dwu- lub trójwymiarowy. Powierzchnia ograniczająca obszar w ogólnym przypadku może być ruchoma i mieć zmienny kształt i dlatego opisana jest we współrzędnych kartezjańskich równaniem więzów dwustronnych o postaci

$f(x,y,z,t)=0.$

(1)

Przy więzach tego typu poruszający się punkt musi zawsze dokładnie pozostawać na powierzchni określonej równaniem (1).

W przypadku więzów jednostronnych punkt musi zawsze spełniać warunek

$f(x,y,z,t)\geqslant 0,$

(2)

czyli pozostawać po jednej stronie lub na brzegu powierzchni (1). Więzy jednostronne mogą być czynne (gdy $f=0$) lub nieczynne (gdy $f>0$).

Więzy dwustronne nakładają ograniczenia (1) nie tylko na przemieszczenia punktu, ale również na jego prędkości. Mamy bowiem obliczając pochodną zupełną (1)

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\dot {z}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0\quad \to \quad {\frac {df}{dt}}=\mathbf {grad} \,f\cdot \mathbf {v} +{\frac {\partial f}{\partial t}}=0.$

(3)

To równanie ma rozwiązanie w postaci

$\mathbf {v} =-{\frac {\partial f/\partial t}{|\mathbf {grad} f|^{2}}}\mathbf {grad} f+\mathbf {c} ,$

(4)

gdzie $\mathbf {c}$ – jest dowolnym wektorem prostopadłym do $\mathbf {grad} f,$ czyli leżącym na płaszczyźnie stycznej do powierzchni określonej równaniem $f=0.$

Wynika stąd, że składowa prędkości w tej płaszczyźnie może być zupełnie dowolna. W przypadku więzów niestacjonarnych płaszczyzna ta porusza się i składowa prędkości punktu w kierunku gradientu nie jest zerowa. Ma ona wtedy wartość

$\mathbf {v} _{g}=-{\frac {\partial f/\partial t}{|\mathbf {grad} f|}}.$

(5)

Więzy dwustronne nie nakładają żadnych ograniczeń także na przyspieszenia punktu w kierunku prostopadłym do wektora $\mathbf {grad} f,$ mamy bowiem

${\frac {d^{2}\!f}{dt^{2}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\ddot {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\ddot {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\ddot {z}}+D_{2}f,$

(6.1)

gdzie składnik

$D_{2}f={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial z}}{\dot {z}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial t}}$

(6.2)

nie zawiera żadnych przyspieszeń.

Zamiast (6.1) możemy napisać

${\frac {d^{2}\!f}{dt^{2}}}=\mathbf {grad} f\cdot \mathbf {w} +D_{2}f=0.$

(7)

Po rozwiązaniu otrzymujemy

$\mathbf {w} =-{\frac {D_{2}f}{|\mathbf {grad} f|^{2}}}\mathbf {grad} f+\mathbf {c} ,$

(8)

gdzie $\mathbf {c}$ jest dowolnym wektorem prostopadłym do gradientu. W przypadku więzów niestacjonarnych składowa przyspieszenia punktu o kierunku gradientu, wywołanego ruchem płaszczyzny (1), ma wartość

$\mathbf {w} _{g}=-{\frac {D_{2}f}{|\mathbf {grad} \,f|}}.$

(9)

Układ punktów

Rozważmy układ składający się z $n$ punktów materialnych. Oznaczmy współrzędne dowolnego punktu $m_{\nu }$ przez $x_{\nu },\,y_{\nu },\,z_{\nu }.$ Na ten układ można nałożyć więzy geometryczne wyrażone wzorami

$f_{\alpha }(\dots ,x_{\nu },\,y_{\nu },\,z_{\nu },\,\dots ,\,t)=0,\quad \alpha =1,2,\dots ,a.$

(10)

Każde położenie układu, dla którego współrzędne punktów spełniają te równania, nazywamy możliwym w danej chwili czasu.

Wyobraźmy sobie, że punkty układu o współrzędnych $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},\quad (i\neq \nu \,;\;\;1,2,\dots ,n-1)$ zostały unieruchomione. Wówczas równanie (10) przedstawia powierzchnię w $\mathbf {R} ^{3},$ która z biegiem czasu zmienia swój kształt, na której musi pozostawiać punkt $m_{\nu }.$

Gradientem więzów $f_{\alpha }$ w punkcie $m_{\nu }$ jest

$\mathbf {grad} _{\nu }f_{\alpha }={\frac {\partial f}{\partial x_{\nu }}}\mathbf {x} ^{o}+{\frac {\partial f}{\partial y_{\nu }}}\mathbf {y} ^{o}+{\frac {\partial f}{\partial z_{\nu }}}\mathbf {z} ^{o},$

(11)

gdzie $\mathbf {x} ^{o}\!,\mathbf {y} ^{o}\!,\mathbf {z} ^{o}$ są wersorami osi globalnego układu współrzędnych.

Gradient ten ma kierunek normalnej do powierzchni (10).

Więzy o postaci (10) nakładają ograniczenia nie tylko na położenie, ale również na prędkości punktów układu.

Równania (10) mają być spełnione w dowolnej chwili $t$ i stąd wynika, że pochodna zupełna dowolnego rzędu względem czasu, lewych stron równości (10), jest równa zeru. Ograniczenia na prędkości punktów układu otrzymamy różniczkując (10)

${\frac {df_{\alpha }}{dt}}=\sum _{\nu =1}^{n}\left({\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial x_{\nu }}}{\dot {x}}_{\nu }+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial y_{\nu }}}{\dot {y}}_{\nu }+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial z_{\nu }}}{\dot {z}}_{\nu }\right)+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}=0$

(12)

lub

${\frac {df_{\alpha }}{dt}}=\sum _{\nu =1}^{n}\mathbf {grad} _{\nu }f_{\alpha }\cdot \mathbf {v} _{\nu }+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}=0.$

(13)

Obliczając pochodną funkcji (12) otrzymujemy warunki ograniczające przyspieszenia układu w postaci

${\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}=\sum _{\nu =1}^{n}\left({\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial x_{\nu }}}{\ddot {x}}_{\nu }+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial y_{\nu }}}{\ddot {y}}_{\nu }+{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial z_{\nu }}}{\ddot {z}}_{\nu }\right)+D^{2}\!f_{\alpha }=0,$

(13)

gdzie

$D^{2}\!f_{\alpha }={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial x_{\nu }}}{\dot {x}}_{\nu }+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial y_{\nu }}}{\dot {y}}_{\nu }+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial z_{\nu }}}{\dot {z}}_{\nu }+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}$

(14)

jest wyrażeniem nie zawierającym przyspieszeń. Dzięki temu zamiast (13) możemy napisać

${\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}=\sum _{\nu =1}^{n}\mathbf {grad} _{\nu }f_{\alpha }\cdot \mathbf {w} _{\nu }+D^{2}\!f_{\alpha }=0.$

(15)

Więzy kinematyczne dwustronne

Kinematyczne więzy nie pozwalają na to, aby punkty układu w danej chwili i w danym położeniu miały dowolne prędkości. Więzy kinematyczne dwustronne można analitycznie zapisać równaniami o postaci

$\varphi _{\beta }(\dots ,\,{\dot {x}}_{\nu },\,{\dot {y}}_{\nu },\,z_{\nu },\,\dots )=0,\quad \nu =1,2,\dots ,n,\quad \beta =1,2,\dots ,b.$

(16)

W przypadku liniowych więzów kinematycznych wyrażenia analityczne zawierają prędkości tylko w sposób liniowy. Równania takich więzów mają postać

$\varphi _{\beta }=\sum _{\nu =1}^{n}(B_{\nu x}^{(\beta )}{\dot {x}}_{\nu }+B_{\nu y}^{(\beta )}{\dot {y}}_{\nu }+B_{\nu z}^{(\beta )}{\dot {z}}_{\nu })+D_{\beta }=0,$

(17)

gdzie $B_{\nu x}^{(\beta )},\,B_{\nu y}^{(\beta )},\,B_{\nu z}^{(\beta )},\,D_{\beta }$ oznaczają pewne funkcje współrzędnych i czasu.

Jeżeli wprowadzimy do rozważań wektory

$\mathbf {B} _{\nu }^{(\beta )}=B_{\nu x}^{(\beta )}\mathbf {x} ^{o}+B_{\nu y}^{(\beta )}\mathbf {y} ^{o}+B_{\nu z}^{(\beta )}\mathbf {z} ^{o}={\frac {\partial \varphi _{\beta }}{\partial {\dot {x}}_{\nu }}}\mathbf {x} ^{o}+{\frac {\partial \varphi _{\beta }}{\partial {\dot {y}}_{\nu }}}\mathbf {y} ^{o}+{\frac {\partial \varphi _{\beta }}{\partial {\dot {z}}_{\nu }}}\mathbf {z} ^{o},$

(18)

to równania (17) możemy zapisać w postaci

$\varphi _{\beta }=\sum _{\nu =1}^{n}\mathbf {B} _{\nu }^{(\beta )}\cdot \mathbf {v} _{\nu }+D_{\beta }=0.$

(19.1)

Przyspieszenia $\mathbf {w}$ punktów układu poddanego więzom rozważanego typu muszą spełniać ograniczenia o postaci

${\frac {d\varphi _{\beta }}{dt}}=\sum _{\nu =1}^{n}\mathbf {B} _{\nu }^{(\beta )}\cdot \mathbf {w} _{\nu }+\sum _{\nu +1}^{n}{\dot {\mathbf {B} }}_{\nu }^{(\beta )}\cdot \mathbf {v} _{\nu }+{\dot {D}}_{\beta }=0,$

(19.2)

w której drugi i trzeci człon sumy nie zawiera przyśpieszeń.

Więzy jednostronne

Punkt pojedynczy

Analitycznym wyrażeniem geometrycznych więzów jednostronnych, nałożonych na punkt materialny, jest nierówność

$f(x,y,z,t)\geqslant 0.$

(20)

Więzy takie mogą być czynne, gdy $f=0$ lub nieczynne, gdy $f>0.$

Gdy więzy nie są czynne, wtedy punkt porusza się wewnątrz obszaru, w którym możliwy jest jego ruch. W tym przypadku może on mieć dowolną prędkość i dowolne przyspieszenie, bo na te wielkości wektorowe nie są nałożone żadne ograniczenia.

Rozważmy teraz przypadek, gdy w pewnej chwili $t$ więzy są jeszcze czynne, a za chwilę stają się nieczynne, tzn.

$f(t)=0,\quad f(t+\Delta t)>0,$

(21)

gdzie $\Delta t$ jest dowolnie małą wielkością dodatnią.

Funkcja $f(t)$ w sposób złożony zależy od czasu, tzn. w sposób jawny i za pośrednictwem zmiennych $x,\,y,\,z.$

Aby znaleźć ograniczenia nałożone na prędkości i przyspieszenia punktu posłużymy się rozwinięciem funkcji $f(t)$ w szereg Taylora w otoczeniu momentu $t.$

$f(t+\Delta t)=f(t)+{\frac {df}{dt}}{\frac {\Delta t}{1!}}+{\frac {d^{2}\!f}{dt^{2}}}{\frac {\Delta t^{2}}{2!}}+\epsilon ,$

gdzie $\epsilon$ oznacza zespół wyrazów rzędu co najmniej trzeciego rzędu względem $\Delta t.$

Na podstawie warunków (21) otrzymujemy

${\frac {df}{dt}}\Delta t+{\frac {d^{2}\!f}{dt^{2}}}{\frac {\Delta t^{2}}{2}}+\epsilon \geqslant 0.$

(22)

Dzieląc przez $\Delta t$ i przechodząc do granicy $\Delta t\to 0$ otrzymuje się zgodnie z notacją (3)

${\frac {df}{dt}}\geqslant 0\quad \to \quad \mathbf {grad} f\cdot \mathbf {v} +{\frac {\partial f}{\partial t}}\geqslant 0.$

(23)

Jeżeli więzy są stacjonarne, to $\partial f/\partial t=0$ i dzięki temu

${\frac {\mathbf {grad} f}{|\mathbf {grad} f|}}\cdot \mathbf {v} \geqslant 0$

(24)

tzn. że rzut prędkości $\mathbf {v}$ punktu na kierunek gradientu nie może być ujemny, czyli niezgodny z więzami.

Jeżeli w chwili $t$ pochodna $df/dt>0,$ to z nierówności (22) nie można wyciągnąć żadnych wniosków dotyczących drugiej pochodnej $d^{2}\!f/dt^{2},$ a zatem przyśpieszenie punktu pozostaje zupełnie dowolne. Jeżeli natomiast $df/dt=0,$ to dzieląc nierówność (22) przez $\Delta t^{2}$ i przechodząc do granicy $\Delta t\to 0$ otrzymujemy (dla drugiej pochodnej prawostronnej) warunek

$d^{2}\!f/dt^{2}\geqslant 0$

(24)

lub zgodnie ze wzorem (7)

$\mathbf {grad} f\cdot \mathbf {w} +D_{2}f\geqslant 0.$

(25)

Układ punktów

Dla układu punktów więzy geometryczne i kinematyczne opisane są nierównościami typu

$f_{\alpha }(x_{\nu },\,y_{\nu },\,z_{\nu })\geqslant 0,\quad \alpha =1,2,\dots ,a,$

(26)

$\varphi _{\beta }=\sum _{\nu =1}^{n}\mathbf {B} _{\nu }^{(\beta )}\mathbf {v} _{\nu }+D_{\beta }\geqslant 0,\quad \beta =1,2,\dots ,b,\quad \nu =1,2,\dots ,n.$

(27)

Gdy lewe strony tych wzorów są dodatnie mówimy, że więzy nie działają. Gdy lewe strony są równe zeru mówimy, że więzy działają.

Lewe strony wzorów (26) i (27) są złożonymi funkcjami czasu, tzn. zależą od czasu i jawnie i niejawnie, za pośrednictwem współrzędnych i ich pochodnych. Gdy czasowi $t$ nadamy pewien dodatni przyrost $\Delta t$ możemy napisać

$f_{\alpha }(t+\Delta t)=f_{\alpha }(t)+{\frac {df_{\alpha }}{dt}}\Delta t+{\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}{\frac {\Delta t^{2}}{2}}+\epsilon ,\quad \alpha =1,2,\dots ,a,$

(28)

$\varphi _{\beta }(t+\Delta t)=\varphi _{\beta }(t)+{\frac {d\varphi _{\beta }}{dt}}\Delta t+\eta ,\quad \beta =1,2,\dots ,b,$

(29)

gdzie $\epsilon \;i\;\eta$ oznaczają składniki odpowiednio trzeciego i drugiego stopnia względem $\Delta t.$

Ponieważ zawsze będziemy uważali wielkość $\Delta t$ za dodatnią, dlatego pochodne funkcji $f_{\alpha },\,\varphi _{\beta }$ występujące we wzorach (28) i (29) należy rozumieć jako tzw. pochodne prawostronne, tzn. obliczone przy założeniu $\Delta t\to 0,\,\Delta t>0.$

Gdy układ porusza się zgodnie z więzami $f_{\alpha }=0,\,\varphi _{\beta }=0,$ i chwila $t$ nie jest chwilą, w której układ opuszcza więzy, wówczas przy dowolnym $\Delta t,$ nie przekraczającym pewnej wartości, lewe strony wzorów (28) i (29) są równe zeru. Zatem w tym przypadku w chwili $t$ zachodzą równości

$f_{\alpha }=0,\quad {\frac {df_{\alpha }}{dt}}=0,\quad {\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}=0,\quad \dots ,\quad {\frac {df_{\alpha }^{(s)}}{dt^{s}}}=0,$

(30)

$\varphi _{\beta }=0,\quad {\frac {d\varphi _{\beta }}{dt}}=0,\quad \dots ,\quad {\frac {d^{(s)}\varphi _{\beta }}{dt^{s}}},$

(31)

dla dowolnego $s.$ Są to warunki konieczne i dostateczne na to, aby więzy działały.

Niech teraz $t$ będzie chwilą, w której układ opuszcza więzy $f_{\alpha }$ lub $\varphi _{\beta }.$

Znaczy to, że po pierwsze

$f_{\alpha }(t)=0,\quad \varphi _{\beta }(t)=0,$

(32)

i po drugie, dla dowolnego dodatniego $\Delta t$ nie przekraczającego pewnej wartości

$f_{\alpha }(t+\Delta t)>0,\quad \varphi _{\beta }(t+\Delta t)>0.$

(34)

Uwzględniając te nierówności w rozwinięciach (28) i (29) stwierdzamy, że w chwili $t$ zachodzą nierówności

${\frac {df_{\alpha }}{dt}}\Delta t+{\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}{\frac {\Delta t^{2}}{2}}+\epsilon >0,$

(35)

${\frac {d\varphi _{\beta }}{dt}}\Delta t+\eta >0.$

(36)

Nierówności te są prawdziwe przy dowolnie małym dodatnim $\Delta t.$ Na skutek tego z pierwszej nierówności wynika, że

${\frac {df_{\alpha }}{dt}}\geqslant 0.$

(37)

Taki warunek więzy geometryczne nakładają na prędkości punktów w chwili, gdy przestają działać. Warunek, jaki nakładają w takiej chwili więzy kinematyczne na prędkości punktów, polega na tym, że

$\varphi _{\beta }(t)=0.$

(38)

Jeżeli w chwili, gdy więzy geometryczne $f_{\alpha }$ przestają działać, zachodzi nierówność $df\alpha /dt>0;$ i ze wzoru (35) wynika, że druga pochodna $d^{2}\!f_{\alpha }/dt^{2}$ może mieć dowolny znak, tzn. w tym przypadku więzy nie nakładają żadnych ograniczeń na przyśpieszenia punktów. Jeżeli $df_{\alpha }/dt=0,$ to ponieważ nierówność (35) zachodzi przy dowolnie małym dodatnim $\Delta t,$ więc wynika z niej warunek

${\frac {d^{2}\!f_{\alpha }}{dt^{2}}}\geqslant 0.$

(39)

Podobnie z równości (35) można wywnioskować, że dla więzów kinematycznych $\varphi _{\beta }$ w chwili, gdy przestają działać, zawsze ma miejsce nierówność

${\frac {d\varphi _{\beta }}{dt}}\geqslant 0.$

(40)

Takie są warunki nakładane przez więzy na przyśpieszenia punktów w chwili, w której więzy przestają działać.