Wielomian nieprzywiedlny

Wielomian nieprzywiedlnywielomian dodatniego stopnia (o współczynnikach z pierścienia całkowitego), który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia (o współczynnikach ze wspomnianego pierścienia)[1]. Wielomiany, które nie są nieprzywiedlne nazywa się przywiedlnymi.

Dostrzeżenie nieprzywiedlnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden o współczynnikach całkowitych było impulsem do badań nad liczbami algebraicznymi, czyli pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych.

DefinicjaEdytuj

Wielomian   dodatniego stopnia[a] (jednej zmiennej) o współczynnikach z pierścienia całkowitego   nazywa się nieprzywiedlnym w   jeżeli nie istnieją wielomiany   dodatniego stopnia o współczynnikach z   dla których  [2].

Własności i przykładyEdytuj

Wielomiany stopnia pierwszego są nieprzywiedlne w każdym pierścieniu wprost z definicji[3].

W przypadku gdy pierścień współczynników wielomianów tworzy ciało (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych), pojęcie rozkładalności/nierozkładalności w pierścieniu wielomianów pokrywa się z pojęciem przywiedlności/nieprzywiedlności w pierścieniu współczynników. W przypadku ogólnym, gdy pierścień współczynników jest pierścieniem całkowitym, pojęcia te są istotnie różne. Przykładowo wielomian   zmiennej   o współczynnikach całkowitych jest nieprzywiedlny w tym pierścieniu (jako wielomian pierwszego stopnia), lecz rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach całkowitych na dwa wielomiany nieodwracalne w tym pierścieniu wielomianów[b]:   oraz  [3].

Wielomian nieprzywiedlny w danym ciele (pierścieniu), może być przywiedlny w jego rozszerzeniu (przywiedlność nie jest zatem własnością niezmienniczą rozszerzeń[4]), przykładowo wielomian   jest nieprzywiedlny w pierścieniu liczb całkowitych (jak również liczb wymiernych), choć jest przywiedlny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż  

Jeśli ciało współczynników jest algebraicznie domknięte, wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w tym ciele; na odwrót: jeżeli wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w danym ciele, to jest ono algebraicznie domknięte[5].

Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Stąd dowolny wielomian co najmniej drugiego stopnia jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych (rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych). W szczególności nieprzywiedlny w ciele liczb rzeczywistych wielomian   zmiennej   jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych, ponieważ  [3], gdzie jednym z pierwiastków tego wielomianu jest jednostka urojona.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Warunek ten wyklucza również wielomian zerowy, o którego stopniu zakłada się często, że jest równy  
  2. Jedynymi odwracalnymi wielomianami o współczynnikach całkowitych są wielomiany stałe   oraz   (każdy z nich jest równy swojej odwrotności).

PrzypisyEdytuj

  1. wielomian nieprzywiedlny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-11].
  2. Gleichgewicht ↓, Definicja 16.5, s. 311.
  3. a b c Gleichgewicht ↓, s. 311.
  4. Gleichgewicht ↓, adnotacja, s. 311–312.
  5. Gleichgewicht ↓, Wniosek 16.2, s. 311.

BibliografiaEdytuj

Literatura dodatkowaEdytuj