Wielomian stabilny
Wielomian stabilny – wielomian, który spełnia jeden z poniższych warunków:
- wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie lub
- wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartym kole jednostkowym (zob też. okrąg jednostkowy).
Pierwszy z warunków definiuje stabilność Hurwitza lub stabilność czasu ciągłego. Drugi z warunków definiuje stabilność Schura lub stabilność czasu dyskretnego.
Wielomiany stabilne pojawiają się w wielu gałęziach matematyki, na przykład w równaniach różniczkowych i w teorii sterowania. Istotnie, układ liniowy, stacjonarny (ang. LTI, Linear Time Invariant) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy ograniczone wejścia dają na wyjściu ograniczone wyjścia. Równoważne jest to wymaganiu by mianownik transmitancji operatorowej (dla której można wykazać, że jest wymierna) był stabilny. W przypadku układów czasu ciągłego wymagane jest by mianownik był stabilny w sensie Hurwitza, a w przypadku układów czasu dyskretnego stabilny w sensie Schura.
Stabilne wielomiany nazywa się czasami odpowiednio wielomianami Hurwitza (zob. też macierz Hurwitza) lub wielomianami Schura.
Własności
edytuj- Twierdzenie Routha-Hurwitza podaje algorytm pozwalający na określenie czy dany wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
- Aby sprawdzić czy dany wielomian (stopnia ) jest stabilny w sensie Schura, wystarczy zastosować to twierdzenie do przekształconego wielomianu: otrzymanego w wyniku przekształcenia Möbiusa które przekształca lewą półpłaszczyznę na koło o okręgu jednostkowym (zob. też metoda Tustina). Wielomian jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
- Warunek konieczny: stabilny wielomian Hurwitza (o współczynnikach rzeczywistych) ma współczynniki tego samego znaku (albo wszystkie dodatnie albo wszystkie ujemne).
- Warunek wystarczający: wielomian z rzeczywistymi współczynnikami takimi, że:
- jest stabilny w sensie Schura.
- Zasada iloczynu: dwa wielomiany i są stabilne (w tym samym sensie) wtedy i tylko wtedy jeśli ich iloczyn jest również stabilny.
Przykłady
edytuj- jest stabilny w sensie Schura ponieważ spełnia warunek wystarczający
- jest stabilny w sensie Schura (ponieważ wszystkie jego pierwiastki równe są ), ale nie spełnia on warunku wystarczającego
- nie jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to ) ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
- jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to )
- Wielomian (ze współczynnikami dodatnimi) nie jest ani stabilny w sensie Hurwitza ani stabilny w sensie Schura. Jego pierwiastki to cztery pierwotne piąte pierwiastki z jedynki:
Należy przy tym zauważyć, że:
Jest to więc przypadek graniczny stabilności w sensie Schura ponieważ pierwiastki wielomianu leżą na okręgu jednostkowym. Przykład ten pokazuje również, że warunki konieczne (dodatniość) określone powyżej dla stabilności w sensie Hurwitza nie są wystarczające.