Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewaukład wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzajuEdytuj

Definicja rekurencyjnaEdytuj

 
 
 

Postać jawnaEdytuj

Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:

 

Parzystość wielomianów CzebyszewaEdytuj

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:

 

Postać trygonometrycznaEdytuj

Dla   podstawiając za   dla  

 
 
 

gdzie  

Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

 

Wracając do zmiennej  :  

  (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

 

Można wykazać, że

 

ponieważ zachodzi

 

oraz

 

zachodzi

 

a stąd

 

podstawiają za   x, otrzymuje się

 

Zera wielomianów CzebyszewaEdytuj

Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa.

Wielomian Czebyszewa   posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

 
 

OrtogonalnośćEdytuj

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni   z funkcją wagową  :

 

DowódEdytuj

 

Zastosujmy podstawienie   Mamy wówczas   oraz   Stosując we wcześniejszym wzorze:

 

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego   dostajemy

 

Załóżmy w tym momencie, że   i rozpatrzmy obie całki osobno.

 

Analogicznie:

 

Zatem:

 

Widać, że założenie, iż   jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy  

 

W przypadku   dostajemy   co kończy dowód.

Przykłady wielomianów CzebyszewaEdytuj

 
T0 T1, T2 T3 T4 T5

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

WłasnościEdytuj

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa   ma na odcinku   najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

 

zachodzi nierówność:

 

Wiedząc, że dla każdego   wielomian   przyjmuje wszystkie wartości z   możemy napisać:

 

ZastosowaniaEdytuj

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa, leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzajuEdytuj

Definicja rekurencyjnaEdytuj

 
 
 

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego:  

Zobacz teżEdytuj