Wielomiany Hermite’a

(Przekierowano z Wielomiany Hermite'a)

Wielomiany Hermite’awielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

przy warunkach początkowych

Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicjeEdytuj

Pierwszy z tych wzorów bywa nazywany wzorem Rodriguesa[1]:

 
 
 

Wykładnicza funkcja tworzącaEdytuj

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest

 

Innymi słowami – jeśli rozwiniemy

 

w szereg Maclaurina względem zmiennej   współczynnikiem przy   będzie  

Wykresy pierwszych czterech wielomianówEdytuj

 
Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite’a
 
 
 
 
 
 
 
 

Własności wielomianów Hermite’aEdytuj

  •   jest wielomianem  -tego stopnia.
  •  
  •  
  •  

czyli dla   parzystego   jest funkcją parzystą, a dla   nieparzystego – funkcją nieparzystą.

  •  

czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. wielomiany Hermite’a, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-22].

BibliografiaEdytuj

  • Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.