Wielomiany Hermite’a

Wielomiany Hermite’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x),$

przy warunkach początkowych

$H_{0}(x)=1,$

$H_{1}(x)=2x.$

Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicje

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

$H_{n}(x)={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+it)^{n}e^{-t^{2}}dt$

$H_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}+2xt}{\Bigg |}_{t=0}$

Wykładnicza funkcja tworząca

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest

$G(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Innymi słowami – jeśli rozwiniemy

$e^{-t^{2}+2tx}$

w szereg Maclaurina względem zmiennej $t,$ współczynnikiem przy ${\frac {t^{n}}{n!}}$ będzie $H_{n}(x).$

Wykresy pierwszych czterech wielomianów

Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite’a

$H_{0}=1$

$H_{1}=2x$

$H_{2}=4x^{2}-2$

$H_{3}=8x^{3}-12x$

$H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12$

$H_{5}=32x^{5}-160x^{3}+120x$

$H_{6}=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120$

$H_{7}=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x.$

Własności wielomianów Hermite’a

• $H_{n}(x)$ jest wielomianem $n$-tego stopnia.
• ${\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x),$
• $H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}},$
• $H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),$

czyli dla $n$ parzystego $H_{n}(x)$ jest funkcją parzystą, a dla $n$ nieparzystego – funkcją nieparzystą.

• $\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm},$

czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową $e^{-x^{2}}.$

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Laguerre’a
• wielomiany Legendre’a

Bibliografia

• Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.