Wielowymiarowy rozkład normalny

Wielowymiarowy rozkład normalnyrozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.

Dwuwymiarowy rozkład normalny

DefinicjaEdytuj

n-wymiarowa zmienna losowa   podlega n-wymiarowemu rozkładowi normalnemu jeśli dowolna kombinacja liniowa   jej składowych ma rozkład normalny.

Funkcja gęstości n-wymiarowego rozkładu normalnego wektora losowego   o wektorze wartości oczekiwanych   i macierzy kowariancji   dana jest wzorem:

 

Oznacza się to w skrócie zapisem

 

Niezależność zmiennychEdytuj

Dla wielowymiarowego rozkładu normalnego jeśli składowe wektora losowego   o wielowymiarowym rozkładzie normalnym są niezależne to są nieskorelowane i odwrotnie, jeśli są nieskorelowane to są niezależne. Wówczas funkcja gęstości wektora losowego   jest iloczynem funkcji gęstości każdej ze zmiennych:

 

Zmienne losowe (nawet nieskorelowane) o rozkładzie normalnym nie muszą razem tworzyć wektora o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Wówczas powyższa zależność nie musi być prawdziwa.

Na przykład niech   niech   będzie zmienną losową przyjmującą wartości 1 i –1 z równym prawdopodobieństwem 0,5, niezależną od   oraz niech   Wówczas   i   są nieskorelowane, normalne, ale są zależne. Nie tworzą one jednak wielowymiarowego rozkładu normalnego. Cała masa prawdopodobieństwa ich wspólnego rozkładu znajduje się na prostych     podczas gdy nośnikiem wielowymiarowego rozkładu normalnego jest cała płaszczyzna   W szczególności zmienna   ma rozkład mieszany (dyskretno-ciągły), i z prawdopodobieństwem 0,5 przyjmuje wartość 0, a więc nie jest spełniona definicja wielowymiarowego rozkładu normalnego: pewna kombinacja liniowa składowych wektora losowego nie ma rozkładu normalnego.

Estymacja parametrówEdytuj

Mając dane   wektorów pobranych z pewnego wielowymiarowego rozkładu normalnego o wektorze wartości oczekiwanych   i macierzy kowariancji   możemy oszacować jego parametry w następujący sposób:

Estymator wartości oczekiwanej:

 

Estymator macierzy kowariancji o największej wiarygodności:

 

Estymator nieobciążony macierzy kowariancji:

 

SymulacjaEdytuj

W celu uzyskania wektora losowego o rozkładzie danym przez wektor średnich   i macierz kowariancji   postępujemy według następującego algorytmu:

  1. Stosujemy rozkład Choleskiego względem macierzy   tak by otrzymać macierz   dla której zachodzi:  
  2. Tworzymy wektor   n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym, stosując np. metodę Boxa-Mullera.
  3. Szukany wektor to  

Zobacz teżEdytuj