Współrzędne krzywoliniowe

pojęcie matematyczne

Współrzędne krzywoliniowe mogą być określone w przestrzeni euklidesowej o dowolnym, skończonym wymiarze Tworzą one rodzin linii (w ogólnym przypadku linii krzywych) w postaci regularnych siatek przestrzennych (rys. 1).

Rys. 1. Układy współrzędnych w przestrzeni 2-wymiarowej: krzywoliniowy (u góry), afiniczny (z prawej), kartezjański (z lewej).

Najczęściej spotykanymi są współrzędne:

Aby wprowadzić jakieś współrzędne krzywoliniowe, w danej przestrzeni euklidesowej, trzeba podać odpowiednie wzory transformacyjne opisujące sposób przejścia do tych nowych współrzędnych od starych współrzędnych kartezjańskich. Wymaga się przy tym:

(1) aby współrzędnym kartezjańskim punktów przestrzeni odpowiadały unikalne wartości współrzędnych krzywoliniowych. Dlatego wzory transformacyjne muszą być opisane funkcjami wzajemnie jednoznacznymi. Ta bijekcja nie zawsze jest możliwa w całej przestrzeni

(2) aby funkcje transformujące były różniczkowalne dostateczną liczbę razy dzięki czemu staje się możliwe zdefiniowanie bogatszej struktury, np. wprowadzenie lokalnych baz wektorów w każdym punkcie dziedziny, co pozwala na definiowanie pól wektorowych czy też tensorowych i wykonywanie na nich operacji różniczkowania i całkowania.

Nazwa „współrzędne krzywoliniowe” została wprowadzona przez francuskiego matematyka Gabriela Lamé. Formalizm współrzędnych krzywoliniowych został uogólniony na przestrzenie nieeuklidesowe, m.in. przez Riemanna.

W tym artykule zagadnienie współrzędnych krzywoliniowych omówiono na przykładzie przestrzeni 3-wymiarowej, która jest dobrym modelem przestrzeni fizycznej (podobnie omawia to np. [1]). Zaletą takiego podejścia jest to, że podane w nim pojęcia i metody obliczeniowe w sposób naturalny dają się uogólnić na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru. Nieznaczne zaś rozszerzenie formalizmu poprzez dopuszczenie dowolnej postaci tensora metrycznego pozwala łatwo przejść do opisu geometrii nieeuklidesowych.

ZastosowaniaEdytuj

Układy współrzędnych krzywoliniowych znajdują liczne zastosowania np.:

  • w teoriach pól fizycznych (skalarnych, wektorowych i tensorowych); pojawiające się w analizie tych pól wielkości geometryczne, takie jak gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan itp. wyraża się we współrzędnych krzywoliniowych, wychodząc od definicji tych wielkości we współrzędnych kartezjańskich i po wykorzystaniu wzorów transformacyjnych. Otrzymanym wyrażeniom nadaje się postać uniwersalną, obowiązującą w dowolnym układzie krzywoliniowym;
  • w mechanice klasycznej i w mechanice kwantowej przy rozwiązywaniu zagadnień ruchu ciał poddanych działaniu sił centralnych użycie układu krzywoliniowego upraszcza opis ruchu (np. opis ruchu planet wokół gwiazdy centralnej, czy ruchu elektronu wokół jądra atomu – model atomu Bohra w układzie sferycznym);
  • w ogólnej teorii względności – użycie współrzędnych krzywoliniowych jest niezbędne, gdyż efektem działania pól grawitacyjnych jest zakrzywienie czasoprzestrzeni. Nie da się ściśle opisać ani pól grawitacyjnych, ani trajektorii ciał poruszających się w tych polach, za pomocą współrzędnych prostokątnych; np. ciała w polach grawitacyjnych poruszają się po liniach geodezyjnych, które nie są prostymi euklidesowymi.

Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni euklidesowej 3DEdytuj

(1) Niech w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej   z wprowadzonym w niej układem kartezjańskim   będzie dany punkt   opisany jego wektorem wodzącym   zależnym od trzech parametrów   tj.

 

gdzie:   są wersorami bazy przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich oraz

 
 
 
(1)

przy czym funkcje   są klasy   tj. mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe.

(2) Definicja: Parametry   nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu   jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość (1) pomiędzy nimi, a współrzędnymi kartezjańskimi   punktu   przy czym wymaga się, by poniższy jakobian był różny od zera dla punktów   gdzie   – zbiór, na jakim chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe, tj.[2]

 

 

Warunek niezerowania się jakobianu oznacza, że w każdym punkcie rozważanego obszaru   będzie można wprowadzić 3 osie lokalnego układu współrzędnych, styczne do linii współrzędnych i parami nierównoległe (por. rys. 2).

 
Rys. 2. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych, osie współrzędnych dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych.

(3) Warunek równoważny: Jakobian transformacji odwrotnej o składowych   musi być różny od zera dla punktów   gdzie  obraz zbioru   w transformacji   dokonującej przejścia od współrzędnych krzywoliniowych do kartezjańskich.

(4) Definicja: Mówi się, że funkcje   wprowadzają w przestrzeni krzywoliniowy układ współrzędnych.

(5) Definicja: Krzywe współrzędnych. Siatka współrzędnych krzywoliniowych

a) Ustalając wartości dwu nowych współrzędnych, a zmieniając wartość pozostałej, otrzymuje się krzywą w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniającej się wartości współrzędnej, np.

 

przedstawia krzywą współrzędnych   przy ustalonych wartościach współrzędnych   oraz  

b) Zmieniając wartości   współrzędnych   otrzymuje się różne linie siatki współrzędnej  

c) Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się wszystkie linie siatki współrzędnych krzywoliniowych.

d) Przez każdy punkt   przechodzą trzy przecinające się wzajemnie linie współrzędnych      

Przykład: Współrzędne sferyczne Edytuj

 
Rys. 3. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych i osie współrzędnych dla współrzędnych sferycznych. Powierzchnie: r – sfery, θ – stożki, φ – półpłaszczyzny. Krzywe: r – proste idące promieniście, θ – pionowe półokręgi, φ – poziome okręgi. Osie: r – proste idące promieniście, θ – styczne do pionowych półokręgów, φ – styczne do poziomych okręgów.

(1) Współrzędne sferyczne   są zdefiniowane przez następujące funkcje współrzędnych kartezjańskich  

 
 
 

przy czym:  

 

(2) Konwersję ze współrzędnych sferycznych na współrzędne kartezjańskie   określają wzory odwrotne:

 
 
 

(3) Jakobian przejścia

 
 

W punktach, gdzie jakobian jest różny od zera można wprowadzić lokalne układy wektorów bazowych, styczne do linii współrzędnych (por. rys. 4).

Współrzędne kontrawariantne i kowariantneEdytuj

 
Rys. 4. Wektor v rozłożony w dwóch bazach:
(1) baza wersorów   (żółta, z lewej) – stycznych do krzywych współrzędnych (czarne)
(2) kobaza wersorów   (niebieska, z prawej) – prostopadłych do powierzchni współrzędnych (szare).
Wersory bazy i kobazy nie są do siebie równoległe, chyba że współrzędne (q1, q2, q3) są ortogonalne.

Mając dany układ współrzędnych krzywoliniowych, można określić dla niego, w każdym punkcie przestrzeni, lokalne wersory osi, przy czym można to zrobić na dwa różne sposoby:

  1. wersory bazy  styczne do linii współrzędnych, przechodzących przez dany punkt. Współrzędne   wektora reprezentowanego w tej bazie nazywa się jego współrzędnymi kontrawariantnymi (przeciwzmienniczymi). Tę bazę nazywa się także bazą wektorów kontrawariantnych;
  2. wersory kobazy   zwanej też bazą dualną, są normalne do płaszczyzn współrzędnych przechodzących przez dany punkt. Współrzędne   wektora reprezentowanego w kobazie nazywa się jego współrzędnymi kowariantnymi (współzmienniczymi). Tę bazę nazywa się również bazą wektorów kowariantnych;
  3. dowolny wektor w   można zapisać dwojako

 

W układzie współrzędnych kartezjańskich baza i kobaza są identyczne:  

Aby odróżnić współrzędne kontrawariantne od kowariantnych stosuje się umowę:

  1. współrzędnym kontrawariantnym (liczonym względem bazy) przypisuje się wskaźniki górne,
  2. współrzędnym kowariantnym (liczonym względem kobazy) przypisuje się wskaźniki dolne.

Własności bazy i kobazyEdytuj

(1) Wektory bazy i kobazy dla dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych, pozwala obliczać uniwersalna procedura (patrz niżej).

(2) Współrzędne nazywa się ortogonalnymi, jeżeli linie współrzędnych przecinają się pod kątami prostymi. Np. współrzędne sferyczne, walcowe, biegunowe są ortogonalne.

(3) Wektory bazy (i kobazy) współrzędnych ortogonalnych są ortogonalne. W takim przypadku wektory bazy i kobazy są parami równoległe do siebie.

(4) Wybór bazy pozwala wykonywać w niej obliczenia, np.

  • dowolne pole wektorowe   może być rozłożone na składowe przez rzutowanie:
  • na wektory bazy – wtedy pole to ma współrzędne kontrawariantne  lub
  • na wektory kobazy – wtedy pole ma współrzędne kowariantne 
  • współrzędne pola są zazwyczaj funkcjami różniczkowalnymi (zależnymi od punktów przestrzeni) – dzięki temu możliwe jest wykonywanie obliczeń, np. obliczanie zmian pola w zadanych warunkach, korzystając z równań pola (np. równań Maxwella, równań Einsteina).

Baza wektorów kontrawariantnychEdytuj

Obliczanie bazy wektorów kontrawariantnychEdytuj

(1) W każdym nieosobliwym punkcie   rozpatrywanego obszaru   można zdefiniować trzy wektory bazowe   styczne odpowiednio do krzywych   przy ustalonych wartościach dwóch pozostałych nowych współrzędnych  

 

 

gdzie:

  – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Z powyższych wzorów widać, że:

Baza układu kartezjańskiego transformuje się w bazę układu krzywoliniowego za pomocą macierzy transformacji
 

Elementami tej macierzy są pochodne współrzędnych kartezjańskich względem współrzędnych krzywoliniowych, obliczone w danym punkcie obszaru   Macierze transformacji obliczone w różnych punktach przestrzeni będą mieć więc na ogół różne elementy.

Macierz transformacji ma istotne znaczenie w określaniu własności transformacyjnych obiektów geometrycznych (wektorów, tensorów), określonych w danym punkcie obszaru  

(3) Niezerowanie się jakobianu gwarantuje, że wektory   są nierównoległe do siebie, a więc tworzą bazę. W skrócie wektory te można zapisać jednym wyrażeniem  

lub stosując konwencję sumacyjną Einsteina

 
(2)

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku   przyjmując  

(4) Nieznikanie jakobianu w każdym punkcie gwarantuje też, że istnieje wzór odwrotny

 
(3)

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku   przyjmując  

(5) Wzory (2) i (3) realizują wzajemne transformacje pomiędzy bazami:   i  

(6) Macierz   jest odwrotna do macierzy   co oznacza, że słuszna jest zależność

 

– sumujemy tu po wskaźniku  

(7) Podobnie, słuszna jest zależność odwrotna

 

– sumujemy tu po wskaźniku  

Uwaga: Wektory bazy   są styczne odpowiednio do linii współrzędnych   – nie są jednak ortogonalne jeśli linie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do   co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia   w przestrzeni. Spośród wielu baz wygodne są bazy ortogonalne, gdyż łatwiej wykonywać w nich obliczenia.

Normowanie wektorów bazyEdytuj

Wektory bazy łatwo unormować do   po prostu dzieli się te wektory przez ich długość, którą oblicza się jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:

 
 
 
Powyższe współczynniki noszą nazwę współczynników Lamego.

Unormowane wektory bazy (tzn. jej wersory) mają postać:

 

Przykład: Baza ortonormalna wektorów kontrawariantnychEdytuj

Współrzędne sferyczneEdytuj

(1) Współrzędne kartezjańskie   są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

 
 
 

(2) Obliczamy wektory bazowe:      

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

 

co łatwo policzyć, mnożąc wektory przez siebie.

(4) Obliczamy długości wektorów   czyli współczynniki Lamego

 
 
 

(5) Normujemy wektory   do   dzieląc je przez ich długości

 
 
 

Powyższe wektory tworzą bazę ortonormalną układu kontrawariantnych współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą tylko od współrzędnych   punktu   w którym wektory te tworzą bazę – styczną do linii współrzędnych sferycznych. Oznacza to, że dwie bazy wyznaczone dla dwu różnych punktów o współrzędnych   i   są identyczne.

(6) Skrętność układu wektorów bazy

Można sprawdzić, że mnożąc wektorowo wektor   przez wektor   otrzyma się wektor   tzn.

 

co oznacza, że wektory te ustawione w kolejności   tworzą bazę prawoskrętną.

Baza wektorów kowariantnychEdytuj

Powierzchnie współrzędnychEdytuj

a) Ustalając jedną z nowych współrzędnych, a zmieniając dwie pozostałe, otrzymuje się powierzchnię w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniających się współrzędnych, np.

 

przedstawia powierzchnię współrzędnych   przy ustalonej wartości współrzędnej  

b) Zmieniając wartość   współrzędnej   otrzymuje się różne powierzchnie współrzędnych  

c) Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się wszystkie powierzchnie współrzędnych krzywoliniowych.

d) Przez każdy punkt   przechodzą trzy przecinające się wzajemnie powierzchnie współrzędnych      

Obliczanie bazy wektorów kowariantnychEdytuj

W każdym punkcie   przestrzeni można zdefiniować trzy wektory kobazowe, prostopadłe do kolejnych powierzchni   o ustalonej wartości jednej z nowych współrzędnych; wektory te oblicza się jako gradienty nowych współrzędnych

 
 
 

gdzie:

  – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

Uwaga 1: Wektory kobazy można formalnie otrzymać z wektorów bazy przez zamianę licznika z mianownikiem we wzorach, np. z   otrzyma się  

 

Uwaga 2: Z powyższej własności wynika, że długości wektorów bazy i kobazy są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Innymi słowy: współczynniki Lamego dla wektorów bazy są odwrotnościami współczynników dla wektorów kobazy

 
 
 
Powyższe współczynniki naszą nazwę współczynników Lamego dla wektorów kobazy.

Uwaga 3: Wektory   kobazy są prostopadłe do powierzchni współrzędnych – wektory te nie są jednak w ogólności ortogonalne, jeśli powierzchnie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do   co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia   w przestrzeni.

Przykład: Ortonormalna baza wektorów kowariantnychEdytuj

Współrzędne sferyczneEdytuj

(1) Współrzędne sferyczne   są wyrażone przez współrzędne kartezjańskie  

 
 
 

(2) Obliczamy wektory kobazy:

 
 
 

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

 

co łatwo policzyć.

(4) Obliczamy długości wektorów   czyli współczynniki Lamego

 
 
 

Porównując współczynniki Lamego dla bazy ze współczynnikami dla kobazy, widać, że są one parami, liczbami wzajemnie odwrotnymi, tj.  

(5) Normujemy wektory   do   dzieląc je przez ich długości

 
 
 

Powyższe wektory tworzą kobazę ortonormalną układu współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą tylko od współrzędnych   punktu   w którym te wektory obliczono.

(6) Porównując wektory kobazy ortonormalnej   z wektorami bazy ortonormalnej   widać, że są one parami identyczne. Oznacza to, że wektory nieunormowane   oraz   są parami do siebie równoległe.

Jest to przejawem ogólnej własności: wektory bazy i kobazy dla współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych są parami równoległe.

Tensor metrycznyEdytuj

Niezmiennik infinitezymalnego przemieszczeniaEdytuj

Wyrażając w bazie   układu współrzędnych wektor infinitezymalnego przemieszczenia   (tj.   otrzyma się wielkość skalarną

 

Można pokazać, że powyższa wielkość jest niezmiennikiem, co jest zgodne z tym, iż iloczyn skalarny wektorów jest wielkością geometryczną, niezależną od bazy, w której wektory się wyraża.

Iloczyny skalarne wektorów bazy   mają istotne znaczenie – tworzą tensor metryczny (kowariantny).

Definicja tensora metrycznegoEdytuj

1) Tensorem metrycznym kowariantnym nazywa się tensor   utworzony z iloczynów skalarnych wektorów bazy, tj.

 

2) Tensorem metrycznym kontrawariantnym nazywa się tensor utworzony z iloczynów skalarnych wektorów kobazy, tj.

 

3) Tensorem metrycznym mieszanym nazywa się tensor

 

lub

 

Wyrażenie tensora metrycznego przez współrzędne krzywolinioweEdytuj

Zapisując wektory   w bazie kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej, takiej że   otrzyma się jawne postacie tensora metrycznego:

 
 
 

Ostatni wynik oznacza, że tensor metryczny mieszany jest reprezentowany przez macierz jednostkową.

Uwaga: Założenie, że iloczyny skalarne wersorów bazy mają postać   jest charakterystyczne dla przestrzeni euklidesowych. Zadanie innej postaci tych fundamentalnych relacji definiuje inne możliwe geometrie (patrz dalej).

Wyznacznik tensora metrycznegoEdytuj

Wyznacznik tensora metrycznego kowariantnego oznacza się symbolem

 

PrzykładyEdytuj

(1) Układ kartezjański

Wektory bazy są ortonormalne – tensor metryczny ma postacie

 
 
 

W reprezentacji macierzowej mamy

 

oraz  

(2) Układ sferyczny

A. Elementy tensora metrycznego kowariantnego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów bazy (postacie wektorów bazy układu sferycznego – patrz wyżej), tj.

 

W reprezentacji macierzowej mamy

 

Wyznacznik tensora:

 

B. Elementy tensora metrycznego kontrawariantnego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów kobazy (postacie wektorów kobazy układu sferycznego – patrz wyżej), tj.

 

itd.

W reprezentacji macierzowej otrzyma się

 

Wyznacznik tensora:

 

C. Z powyższego widać, że

 

Wynika stąd, że iloczyn tensorów   oraz   daje macierz jednostkową. Tensory kowariantny i kontrawariantny są więc reprezentowane przez macierze wzajemnie odwrotne, tj.

 

D. Elementy tensora metrycznego mieszanego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów bazy i kobazy, co daje

 

Tensor metryczny mieszany jest więc w reprezentacji macierzowej macierzą jednostkową

 

Podnoszenie i opuszczanie wskaźników tensorówEdytuj

Tensor metryczny pozwala łatwo podnosić i opuszczać wskaźniki wektorów i tensorów, np.

 
 
 

Wzory te realizują transformacje współrzędnych od kowariantnych do kontrawariantnych i odwrotnie.

Pochodna pola wektorowego. Pochodna kowariantnaEdytuj

Pochodna w układzie kartezjańskimEdytuj

Załóżmy, że zadane jest w przestrzeni pole wektorowe

 

tj.

 

i rozważmy zagadnienie obliczania pochodnej cząstkowej tego pola względem jednej ze współrzędnych przestrzennych kartezjańskich  

Jeżeli pole jest wyrażone w układzie kartezjańskim, to pochodna ta jest wektorem, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi współrzędnych pola po współrzędnych kartezjańskich, tj. 

 

Dziewięć wielkości

 

tworzy tensor 2-go rzędu kontrawariantno-kowariantny, który można przedstawić w postaci macierzy

 

Pochodna w układzie krzywoliniowymEdytuj

W obliczaniach pochodnej pola wektorowego w układzie krzywoliniowym należy uwzględnić fakt, że podczas niewielkiego przesunięcia wektora zmieniają się jego współrzędne na skutek zarówno zmian pola, jak i na skutek zmiany lokalnego układu współrzędnych (który jest „przyczepiony” w nieco innym punkcie przecięcia krzywych współrzędnych). W wyniku tego pochodna funkcji wektorowej we współrzędnych krzywoliniowych wyraża się nieco innym wzorem niż w układzie kartezjańskim.

(1) Mianowicie, licząc pochodną mamy:

 

(2) Ponieważ   to

 

Wektor   wyraża się za pomocą wektorów   zależnością

 

Stąd otrzymuje się

 

po wprowadzeniu symbolu Christoffela II rodzaju

 

(3) Wstawiając powyższy wynik do wzoru z punktu (1), mamy

 

Zmieniając nazwy indeksów, ostatecznie otrzymujemy

 

Wyrażenie w nawiasie nazywa się pochodną kowariantną współrzędnej   wektora   po współrzędnej   tj.

 

Uwaga: Znak średnika wraz z indeksem umieszczony u dołu oznacza pochodną kowariantną po współrzędnej przestrzennej o tym indeksie.

(4) Analogiczne rozumowanie prowadzi do wyrażenia na pochodną kowariantną wektora kowariantnego

 

(5) Pochodne kowariantne wektorów są tensorami 2-go rzędu. W przestrzeni 3-wymiarowej mają 9 składowych. W układzie kartezjańskim symbole Christoffela zerują się – pochodne kowariantne stają się równe pochodnym cząstkowym.

(6) Wektor   infinitezymalnej zmiany pola wektorowego w wyniku infinitezymalnego przemieszczenia   ma współrzędne kontra- i kowariantne w postaci:

 

oraz

 

Element różniczkowy objętościEdytuj

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

 

Po przejściu do dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych   różniczkowy element objętości wyraża się wzorem

 

gdzie:

 macierz Jacobiego transformacji współrzędnych.

Macierz Jacobiego można wyrazić za pomocą elementów tensora metrycznego: kwadrat jakobianu jest równy wyznacznikowi tensora metrycznego, tj.

 

Stąd element objętości w dowolnym układzie współrzędnych ma postać

 

Przykład: Różniczkowy element objętościEdytuj

W układzie współrzędnych sferycznych   mamy   Stąd otrzymamy:

 

Zasady transformacji współrzędnych obiektów geometrycznychEdytuj

Transformacja różniczek współrzędnychEdytuj

(1) Załóżmy, że nieznacznie zmieniamy położenie w przestrzeni z położenia   do położenia   Wielkości   nazywa się różniczkami współrzędnych kartezjańskich.

Jeżeli wektory   oraz   zapisze się we współrzędnych krzywoliniowych, to otrzymamy wektory   oraz   gdzie  różniczki zmian współrzędnych krzywoliniowych. Różniczki te tworzą wektor infinitezymalnego przemieszczenia

 

(2) Związki między różniczkami   oraz   można znaleźć, obliczając różniczki zupełne współrzędnych   wyrażonych przez współrzędne krzywoliniowe

 
 
 

lub w skrócie, stosując konwencję sumacyjną po powtarzającym się wskaźniku  

 

Odwracając tę zależność, otrzyma się wzór na transformację różniczek   współrzędnych kartezjańskich   w różniczki   współrzędnych krzywoliniowych  

 

Oznacza to, że:

Różniczki   współrzędnych kartezjańskich transformują się na różniczki   współrzędnych krzywoliniowych za pomocą macierzy   która jest odwrotna do macierzy   transformacji wektorów bazy   na wektory bazy  
Wektory, które transformują się tak jak wektory infinitezymalnego przemieszczenia   (lub inaczej mówiąc: jak różniczki współrzędnych) nazywa się wektorami kontrawariantnymi.
Nazwa kontrawariantny oznacza: przeciwny w sposobie transformacji niż wektory bazy.

Transformacja współrzędnych gradientu funkcjiEdytuj

(1) Niech dana będzie funkcja skalarna współrzędnych   Gradient funkcji skalarnej – to wektor, który we współrzędnych kartezjańskich dany jest wzorem

 

tzn.  -te współrzędne kartezjańskie gradientu są równe pochodnym cząstkowym funkcji po zmiennej  

(2) Współrzędne gradientu wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych.

Jeżeli zapisze się funkcję   za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, to obliczenie gradientu nie będzie wyrażać się takim samym wzorem jak wyżej. Np. pierwsza składowa gradientu zapisana za pomocą współrzędnych krzywoliniowych ma postać

 

i analogicznie pozostałe składowe; w skróconym zapisie mamy

 

co po odwróceniu daje

 

Oznacza to, że:

Współrzędne kartezjańskie   gradientu transformują się na współrzędne krzywoliniowe   gradientu za pomocą macierzy   identycznej jak macierz transformacji wektorów bazy   na wektory bazy  
Wektory, które transformują się tak jak gradient, nazywa się wektorami kowariantnymi.
Nazwa kowariantny oznacza: zgodny w sposobie transformacji z wektorami bazy.

Uwaga:

Gradient funkcji skalarnej jest wektorem kowariantnym; zgodne z przyjętą konwencją możemy napisać

 

oraz

 

Oznacza to, że

Pochodne funkcji skalarnej po współrzędnych kartezjańskich lub dowolnych współrzędnych krzywoliniowych są współrzędnymi kowariantnymi pewnego wektora.

Definicja transformacyjna tensorów kowariantnych i kontrawariantnychEdytuj

Powyższe wzory na transformację różniczek współrzędnych i składowych gradientu funkcji określają dwa sposoby transformacji składowych dowolnych obiektów geometrycznych (skalarów, wektorów, tensorów wyższych rzędów) przy zmianie układu współrzędnych.

Definicja

(1) Składowymi kowariantnymi wektorów, tensorów 2-go rzędu itd. nazywa się te ich współrzędne, które transformują poprzez macierz   tj. identyczną z macierzą transformacji bazy układu kartezjańskiego do bazy układu krzywoliniowego (mówi się, że składowe kowariantne transformują się współzmienniczo lub ko-wariantnie z wektorami bazy).

(2) Składowymi kontrawariantnymi wektorów, tensorów nazywa się te ich współrzędne, które transformują się poprzez macierz odwrotną   (transformują się przeciwzmienniczo lub kontra-wariantnie).

Wektor położenia nie jest tensorem 1-go rzęduEdytuj

(1) W myśl powyższej definicji – zwanej definicją transformacyjną – wielkość   nie jest wektorem, gdyż transformuje się w   za pomocą funkcji   a nie za pomocą macierzy   czy macierzy odwrotnej.

(2) Wynika stąd, iż definicja transformacyjna eliminuje ze zbioru tensorów 1-go rzędu (zwanych wektorami) wielkości, które zależą od wyboru punktu początkowego układu współrzędnych. Wektorami są wielkości, których własności transformacyjne są określone lokalnie, w miejscu gdzie dany wektor jest przyczepiony.

Gradient we współrzędnych krzywoliniowychEdytuj

Wzór na gradient funkcji skalarnej  Edytuj

Wychodząc z definicji gradientu, mamy

 

Po wyciągnięci tego samego czynnika przed nawias otrzymamy

 

przy czym ostatni wyraz jest wektorem kobazy  

Czyli gradient wyrażony we współrzędnych krzywoliniowych ma postać:

 

Powyższa postać gradientu jest identyczna jak we współrzędnych kartezjańskich: jest to suma pochodnych funkcji skalarnej po współrzędnych mnożona przez wektor bazy tego układu. Podana metoda obliczania ma więc charakter uniwersalny – dotyczy bowiem dowolnego układu współrzędnych.

Przy tym należy pamiętać, że wektory bazy nie są na ogół ani unormowane ani ortogonalne.

Przykład: Gradient we współrzędnych sferycznychEdytuj

Dla układu współrzędnych sferycznych mamy

 

Niech funkcja skalarna ma postać potencjału pola elektrostatycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy, tj.

 

gdzie   – stała liczba. Ponieważ funkcja   nie zależy tu of   to ostatnie dwa wyrazy zerują się. Otrzymamy więc:

 

Pochodna funkcji po r wynosi

 

zaś wektor

 

Stąd otrzymamy ostatecznie

 

Widać, że gradient pola skalarnego o symetrii sferycznej jest skierowany radialnie, wzdłuż wektorów   Przedstawia on siłę natężenie pola elektrostatycznego.

UogólnieniaEdytuj

Przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskieEdytuj

Formalizm opisany tutaj uogólnia się na:

Tensor metryczny przestrzeni pseudoeuklidesowychEdytuj

Składowe tensora metrycznego wyprowadzono (patrz wyżej) w oparciu o założenie, iż iloczyn skalarny wektorów w bazie kartezjańskiej ma postać   Jest to słuszne dla przestrzeni euklidesowej.

W przestrzeniach pseudoeuklidesowych – do jakich należy np. 4-wymiarowa czasoprzestrzeń szczególnej i ogólnej teorii względności iloczyny skalarne wektorów bazy są zarówno dodatnie, jak i ujemne (ściślej mówiąc: w czasoprzestrzeni definiuje się iloczyny pseudoskalarne wektorów, które nie zawsze są liczbami nieujemnymi). Np. niezmiennik infinitezymalnego przemieszczenia ma w płaskiej czasoprzestrzeni postać

 

co oznacza, że tensor metryczny ma postać

 

Stąd wynika fundamentalne znaczenie elementu   dla określenia własności geometrii w danej przestrzeni. Ponieważ

 

to na podstawie tensora metrycznego widać, że

 

ale

 

co oznacza, że długości wektorów bazowych w przestrzeni pseudoeuklidesowej są ujemne (!) (z tego względu, że tradycyjnie przez długość rozumie się wielkości nieujemne, mówi się tu raczej o pseudodługościach wektorów niż o długościach).

Zobacz teżEdytuj

Pojęcia podstawowe

Inne

PrzypisyEdytuj

  1. Trajdos 1993 ↓, s. 314–320.
  2. Trajdos 1993 ↓, s. 315.

BibliografiaEdytuj

  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.
  • T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
  • J.L. Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

Linki zewnętrzneEdytuj

Kategoria:Układy współrzędnych