Wykres (matematyka)

Wykres – sposób przedstawiania informacji, równań, formuł, relacji, funkcji i innych obiektów w matematyce i pokrewnych naukach jako podzbiorów pewnych iloczynów kartezjańskich.

Warto zauważyć, że z formalnego punktu widzenia wiele obiektów w matematyce jest identycznych (tożsamych) z ich wykresami (zob. izomorfizm). Często jednak obiekty te mają inne intuicyjne czy też historyczne definicje, wówczas rozważanie ich wykresów ma ważne znaczenie dydaktyczne (jest też krokiem wstępnym do formalizacji tychże pojęć). Sztandarowymi przykładami takich obiektów są wspomniane wcześniej relacje i funkcje.

Wykres równaniaEdytuj

Przypuśćmy, że   jest równaniem w liczbach rzeczywistych, którego zmienne są zawarte wśród   Zbiór rozwiązań tego równania, to zbiór wszystkich entek uporządkowanych liczb rzeczywistych   które spełniają to równanie (czyli takich, że  ). Zbiór wszystkich rozwiązań równania   jest więc podzbiorem produktu kartezjańskiego   Czasami zbiór ten jest nazywany wykresem równania.

Zatem wykresem równania   jest zbiór   W przypadku gdy mamy do czynienia tylko z dwiema lub trzema zmiennymi, to wykresy równań mogą reprezentować znajome obiekty geometryczne:

 
Konchoidy de Sluze dla różnych wartości parametru a
  • Wykresem równania   (czyli zbiorem  ) jest prosta przechodząca m.in. przez punkty   i  
  • wykresem równania   (czyli zbiorem  ) jest okrąg o środku w punkcie   i promieniu 4;
  • dla niezerowej liczby a, wykresem równania   jest konchoida de Sluze.

Wykres relacjiEdytuj

Przypuśćmy, że ρ jest relacją n-członową na zbiorze X. Wówczas wykresem relacji ρ nazywamy zbiór   są w relacji  

Należy zauważyć, że formalna definicja relacji jest właśnie taka, że relacja i jej wykres są tym samym.

  • Niech   będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek: „x jest mniejsze lub równe y”,   Wówczas wykresem relacji   jest zbiór   czyli (w kartezjańskim układzie współrzędnych) domknięta półpłaszczyzna powyżej prostej  ;
  • niech   będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek   Wówczas wykresem relacji   w kartezjańskim układzie współrzędnych jest domknięte koło o środku w punkcie   i promieniu 4.

Wykres funkcjiEdytuj

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykres formułyEdytuj

Przedstawione powyżej przykłady wykresów mają wspólne uogólnienie w języku teorii modeli. Przypuśćmy że τ jest alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu   Przypuśćmy też że M jest modelem dla   oraz   jest formułą w języku   której zmienne wolne są zawarte wśród   Wykresem formuły   w modelu M nazywamy zbiór

 

gdzie M jest oznacza uniwersum modelu M.

Oczywiście, powyższa procedura może być zastosowana do innych języków (niekoniecznie pierwszego rzędu).

Zobacz teżEdytuj