Otwórz menu główne

Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) – uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.

Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. „pudełek”, którymi pokrywa się badany zbiór.

Potrzebne oznaczenia i definicjaEdytuj

Niech   będzie podzbiorem  -wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla  : płaszczyzny). Niech ponadto   będzie zwarty i niepusty.

Oznaczmy przez   rodzinę wszystkich  -wymiarowych kostek domkniętych o krawędzi  . Elementy rodziny   nazywać będziemy pudełkami (skąd pochodzi nazwa wymiaru). Niech dalej   oznacza najmniejszą możliwą liczbę pudełek potrzebnych do pokrycia zbioru  :

 

gdzie   oznacza liczność (moc) zbioru  . I tak na przykład przedział   można pokryć minimalnie dwoma kostkami z rodziny   czyli np.   Można to zrobić także większą liczbą kostek o takim promieniu, natomiast nie można mniejszą. Stąd gdy   to  

Wymiarem pudełkowym   zbioru   nazywamy granicę

 

gdzie symbol   należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.

Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartości zbioru  

Przykład obliczeniowyEdytuj

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru   jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar   a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy   (gdzie   oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy  

Możemy więc napisać

 

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.