Wyróżnik wielomianu

Wyróżnik wielomianuwyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

DefinicjaEdytuj

Niech będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała co zapisujemy Symbol oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z

Wyróżnik wielomianu stopnia

to element ciała (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

gdy

i gdy

gdzie to rugownik wielomianu i jego pochodnej zaś jest stopniem pochodnej

Jeżeli to wielomian ma pierwiastki wielokrotne[a], i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień wielomianu nie jest wielokrotnością charakterystyki ciała (na przykład gdy ), to a wyrażenie przyjmuje postać a jeżeli jest wielokrotnością i to

W pierwszym przypadku rugownik jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia

Gdy oznaczymy przez zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez Ma ona zawsze stopień (niezależnie od tego czy ) i zachodzi związek więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji[1] określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

dla

W macierzy najwyższy współczynnik jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja jest wielomianem zmiennych.

Niech będzie zbiorem wielomianów stopnia dla zaś funkcją przyporządkowującą wielomianowi jego współczynniki Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to jest injekcją. Wobec oczywistej równości

funkcję również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera bez indeksu oznacza wartość funkcji (lub ) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Zależność od pierwiastków wielomianuEdytuj

Wielomian stopnia ma dokładnie pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż ).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: a wtedy

Kwadrat wyznacznika Vandermonda jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

dla i

gdzie jest stopniem pochodnej

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy to nie istnieje żadna para wskaźników z (iloczyn po zbiorze pustym), więc w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to

Obliczanie wyróżnikaEdytuj

Wyróżnik wielomianu stopnia może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej stopnia aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy

Oznaczenia i definicje pomocniczeEdytuj

Oznaczmy przez macierz jednostkową stopnia Definiujemy macierze stopnia dla i Gdy oznaczymy współrzędne macierzy przez to dla zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady

Wszystkie macierze są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia będziemy zapisywali w postaci

  gdzie

Definiujemy macierze zależne od współczynników wielomianu stopnia

  dla

Przykłady

Definicja rekursyjnaEdytuj

Macierze których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia zdefiniowane są rekursyjnie. Niech Jeżeli już określona jest macierz to gdzie

a jest macierzą stopnia jak wyżej.

Macierz (i podobnie ) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze są symetryczne.

Dowód: Dla jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy wynika, że jest symetryczna, czyli

Sprawdźmy, że macierz jest symetryczna.

Macierz jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych z pewnymi współczynnikami. Zatem jako różnica macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

PrzykładyEdytuj

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

gdzie

Stąd

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu przyjmując itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy

i możemy wyliczyć macierz

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

Wyróżnik wielomianu stopnia jest wielomianem jednorodnym stopnia zależnym od zmiennych – współczynników wielomianu.

Związek z macierzą BezoutaEdytuj

 Osobny artykuł: Macierz Bézouta.

Dla dwóch wielomianów spełniających (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia Zwykle oznacza się ją Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta zależą od współczynników wielomianów i i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała

2. Macierz jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy ( jest pochodną wielomianu ), macierz Bezouta oznacza się przez W myśl powyższych określeń stopień macierzy więc wielomian musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla wielomian miał postać dla postać i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące:

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy do macierzy co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo ), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta wynika, że najwyższy współczynnik wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy

Wprowadźmy oznaczenie Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez a mnożenie z prawej strony mnoży przez pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez czyli

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

Na przykład

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez i pierwszą kolumnę też przez Macierz przekształcona jest równa

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

a dla wierszy jest to macierz czyli

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn.

i

Ponieważ to więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

Macierz jest inwolutywna, to znaczy skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy przekształca ją z powrotem w ponieważ

Zatem macierze i przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji

Związek pomiędzy macierzą i macierzą Bezouta wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

i na odwrót

Choć nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta i natychmiast otrzymać a następnie obliczyć

2. Dla wielomianu stopnia istnieją macierze stopnia których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

Wyróżniki wielomianów stopni od 1 do 6Edytuj

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

Nr Znak Czynnik Jednomian Nr Znak Czynnik Jednomian Nr Znak Czynnik Jednomian
1 21 41
2 22 42
3 23 43
4 24 44
5 25 45
6 26 46
7 27 47
8 28 48
9 29 49
10 30 50
11 31 51
12 32 52
13 33 53
14 34 54
15 35 55
16 36 56
17 37 57
18 38 58
19 39 59
20 40

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

Nr Z Czyn Jednom Nr Z Czyn Jednom Nr Z Czyn Jednom Nr Z Czyn Jednom Nr Z Czyn Jednom
1 51 101 151 201
2 52 102 152 202
3 53 103 153 203
4 54 104 154 204
5 55 105 155 205
6 56 106 156 206
7 57 107 157 207
8 58 108 158 208
9 59 109 159 209
10 60 110 160 210
11 61 111 161 211
12 62 112 162 212
13 63 113 163 213
14 64 114 164 214
15 65 115 165 215
16 66 116 166 216
17 67 117 167 217
18 68 118 168 218
19 69 119 169 219
20 70 120 170 220
21 71 121 171 221
22 72 122 172 222
23 73 123 173 223
24 74 124 174 224
25 75 125 175 225
26 76 126 176 226
27 77 127 177 227
28 78 128 178 228
29 79 129 179 229
30 80 130 180 230
31 81 131 181 231
32 82 132 182 232
33 83 133 183 233
34 84 134 184 234
35 85 135 185 235
36 86 136 186 236
37 87 137 187 237
38 88 138 188 238
39 89 139 189 239