Wyznacznik

pojęcie algebry liniowej

Wyznacznik (franc. determinant) – liczba lub ogólniej wartość przypisana macierzy kwadratowej oznaczana jako . Wartość ta jest otrzymywana przez odpowiednie przemnożenie i dodawanie wartości macierzy (zob. sekcję Obliczanie wyznaczników)[1][2][3].

Schemat obliczania wyznacznika macierzy trzeciego stopnia

Wyznaczniki są pierwotnie używano głównie do rozwiązywania układów równań liniowych, choć obecnie używa się w różnych obszarach algebry, geometrii i analizy; zob. sekcję Zastosowania.

Pierwotnie wyznacznik mógł być wyłącznie liczbą rzeczywistą, ale późniejsze uogólnienia pozwoliły na obliczanie wyznaczników z macierzy o innych wartościach, na których można wykonać odpowiednie operacje, czyli na macierzach o wartościach będących elementami pierścienia przemiennego. Formalne definicje wyznaczników znajdują się w sekcji Definicje wyznacznika.

Historia edytuj

 
Gabriel Cramer, twórca wyznaczników

Podstawy wyznaczników zostały stworzone w XVIII wieku przez Gabriela Cramera jako metoda rozwiązywania układów równań liniowych[1]. W 1750 opublikował on swoje teorie dotyczące algebry w książce Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques(inne języki), w której znalazły się między innymi metody rozwiązywania równań znane dzisiaj jako wzory Cramera[4].

W czasach Cramera nie istniały liczby zespolone (1832)[5] ani algebra abstrakcyjna (XIX wiek), stąd też wyznacznikiem była liczba rzeczywista. Nawet w literaturze XX-wiecznej spotyka się określenie mówiące, że wyznacznik jest liczbą[2][1]. Uogólnienie teorii wyznaczników na innego rodzaju wartości macierzy przyszły później.

Teorie i dowody związane z wyznacznikami były rozwijane w XVIII wieku przez Laplace’a w jego dyskusjach opublikowanych w 1772 roku i równolegle przez Vandermonde’a[6], a w kolejnych latach przez Cauchy’ego i w XIX wieku przez Jacobiego[1]. To trzeci z nich wprowadził istotne uogólnienie wyznaczników, stosując je do operacji na pochodnych funkcji (macierz Jacobiego). Rozwój algebry abstrakcyjnej pozwolił uogólnić wyznaczniki do macierzy z wartościami będącymi elementami pierścienia przemiennego[7].

Oznaczenia edytuj

Wyznacznik macierzy kwadratowej   o wyrazach   oznaczany jest jako   lub   lub  [1][2][3].

Dla macierzy:

 

stosuje się rozwinięte oznaczenia wyznacznika:

    lub    

Notacja   jest powszechnie używana (zwłaszcza jej rozwinięta forma), chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ podobnego zapisu używa się również dla norm macierzy i wartości bezwzględnej[1].

Definicje wyznacznika edytuj

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

 

Jest on wówczas wielomianem   zmiennych stopnia   o współczynnikach, które są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Definicja rekurencyjna edytuj

Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace’a.

Oznaczamy macierz   czyli macierz kwadratową n-stopnia o elementach z pierścienia przemiennego   Wyznacznikiem macierzy   nazwiemy element pierścienia   spełniający:

  1. jeśli   to  
  2. jeśli   to   gdzie   jest dowolną liczbą naturalną z zakresu   a przez   oznaczamy macierz stopnia   powstałą z macierzy   poprzez skreślenie  -tego wiersza i  -tej kolumny (por. minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż  -tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż  -tego wiersza.

Definicja permutacyjna edytuj

Niech   jest macierzą. Wówczas[8]:

 

gdzie   oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru   zaś   oznacza liczbę inwersji danej permutacji  

Przykładowo składnik   w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

 

ma trzy inwersje, mianowicie:     i   skąd   oraz  

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

 

gdzie       jak wyżej.

Przykładowo dla   otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla   otrzymujemy permanent.

Definicja aksjomatyczna edytuj

Niech   będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone   Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej  

Wyznacznikiem macierzy   jest funkcja   spełniająca:

  •  
  •  
  •  

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Obliczanie wyznaczników edytuj

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

 

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

 

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika.
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę.
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Własności edytuj

  1. Wyznacznik macierzy jest równy zero   jeśli:
    1. Macierz zawiera kolumnę lub wiersz składający się z samych zer[3].
    2. Macierz zawiera dwie jednakowe kolumny lub wiersze[3].
  2. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika[3].
  3. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy powoduje zmianę wartości wyznacznika na znak przeciwny[3].
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika[3].
  5. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika:  [3].
  6. Dla macierzy tego samego stopnia zachodzi:  [3].
  7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika:  
  8. Zachodzi   gdzie   jest dowolną liczbą,   stopniem macierzy  
  9. Pochodna wyznacznika wyraża się przez ślad w następujący sposób:  

Dowody niektórych własności edytuj

Niech zapis

 

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe  

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

  • pomnożenie kolumny przez   mnoży wyznacznik macierzy przez  
 
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika
 

Wówczas

  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:
 
  • Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
 
Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dla   dowód jest trywialny, niech więc  

 

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

 

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zastosowania edytuj

Wyznaczniki stosuje się w co najmniej kilku działach matematyki jak:

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. a b c d e f Andrzej Mostowski, Marceli Stark, Elementy Algebry Wyższej, t. 16, 1958 (Biblioteka Matematyczna), s. 79-86 (pol.).
  2. a b c Roman Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studentów Część 1, Warszawa: WNT, 1995, s. 84-85, ISBN 83-204-2396-1.
  3. a b c d e f g h i Wyznacznik macierzy - definicja i własności [online], OpenAGH e-podręczniki [dostęp 2023-11-28] (pol.).
  4. Cramera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-12-04].
  5. István Hargittai: Fivefold symmetry (wyd. 2). Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1992, s. 153. ISBN 981-02-0600-3.
  6. Pierre Simon Laplace (1749 - 1827), [w:] W.W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics, www.maths.tcd.ie, 1908 [dostęp 2023-12-04] (ang.).
  7. Kazimierz Szymiczek, Algebra liniowa nad pierścieniami [online], Uniwersytet Śląski, 2008 [dostęp 2023-12-04] (pol.).
  8. Wyznacznik, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-21].

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

Polskojęzyczne
Anglojęzyczne
  • Eric W. Weisstein, Determinant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-01-10].
  •   Determinant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].