Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci
ln ( cos x + i sin x ) = i x . {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.} Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748 , opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela ).
Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje e x , sin x , cos x {\displaystyle e^{x},\sin x,\cos x} przyjmują postać[2] :
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},}
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.} Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:
exp : C → C , exp z := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} [3] ,
sin : C → C , sin z := ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin \colon \ \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}} [4] ,
cos : C → C , cos z := ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}} [4] .Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego z ∈ C , {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,} gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5] .
W szczególności mamy: e i z = 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ( i z ) 3 3 ! + ( i z ) 4 4 ! + … = ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − … ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − … ) = cos z + i sin z , {\displaystyle e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+\ldots =\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\ldots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\ldots \right)=\cos z+i\sin z,}
gdzie skorzystaliśmy z tego, że:
jeżeli szeregi ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} oraz ∑ n b n {\displaystyle \sum _{n}b_{n}} są zbieżne, to zbieżny jest również szereg ∑ n ( a n + b n ) , {\displaystyle \sum _{n}(a_{n}+b_{n}),} oraz: ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 0 ∞ a n + ∑ n = 0 ∞ b n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n},} (addytywność );
jeżeli szereg ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} jest zbieżny, to również szereg ∑ n c a n {\displaystyle \sum _{n}ca_{n}} jest zbieżny, oraz ∑ n = 0 ∞ c a n = c ∑ n = 0 ∞ a n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ca_{n}=c\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},} gdzie c jest stałą (jednorodność ). Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia z ↦ x ∈ R {\displaystyle z\mapsto x\in \mathbb {R} } daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
Inne uzasadnienie formuły Niech f : R → C {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} } będzie dana przez f ( x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) . {\displaystyle f(x)=\cos(x)+i\sin(x).} Wówczas
f ′ ( x ) = i cos ( x ) − sin ( x ) = i ( cos ( x ) + i sin ( x ) ) = i f ( x ) . {\displaystyle f'(x)=i\cos(x)-\sin(x)=i(\cos(x)+i\sin(x))=if(x).} Następnie niech g ( x ) = e − i x f ( x ) . {\displaystyle g(x)=e^{-ix}f(x).} Wtedy
g ′ ( x ) = e − i x ( f ′ ( x ) − i f ( x ) ) = 0 {\displaystyle g'(x)=e^{-ix}(f'(x)-if(x))=0} dla każdego x , {\displaystyle x,} a stąd g {\displaystyle g} jest funkcją stałą . Ponieważ
g ( 0 ) = e − i ⋅ 0 f ( 0 ) = cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) = 1 , {\displaystyle g(0)=e^{-i\cdot 0}f(0)=\cos(0)+i\sin(0)=1,} mamy g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} dla wszystkich x . {\displaystyle x.} Stąd też f ( x ) = g ( x ) e i x = e i x , {\displaystyle f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix},} czyli
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) . {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).} Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Trygonometria
edytuj
Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii , dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej . Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań :
{ e i x = cos x + i sin x e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) . {\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)\end{cases}}.} Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
{ e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x . {\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}.} Po dodaniu stronami:
e i x + e − i x = 2 cos x , {\displaystyle e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x,}
cos x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.} Analogicznie otrzymuje się wzór:
sin x = e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.} Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie x = i y {\displaystyle x=iy} daje:
cos ( i y ) = e − y + e y 2 = cosh y , {\displaystyle \cos(iy)={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,}
sin ( i y ) = e − y − e y 2 i = i sinh y . {\displaystyle \sin(iy)={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\sinh y.} Zastosowanie
edytuj
Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone , ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):
sin x = e i x − e − i x 2 i , {\displaystyle \sin x={\tfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
cos x = e i x + e − i x 2 , {\displaystyle \cos x={\tfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.} Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
Sinus kąta zwielokrotnionego Dla całkowitych dodatnich n {\displaystyle n} wyrażenia postaci sin n x {\displaystyle \sin nx} dają się wyrazić za pomocą samych wartości sin x {\displaystyle \sin x} i cos x {\displaystyle \cos x} oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:
sin n x = e i n x − e − i n x 2 i = ( e i x ) n − ( e − i x ) n 2 i . {\displaystyle \sin nx={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}.} Ze wzoru Eulera:
sin n x = ( cos x + i sin x ) n − ( cos x − i sin x ) n 2 i . {\displaystyle \sin nx={\frac {(\cos {x}+i\sin {x})^{n}-(\cos {x}-i\sin {x})^{n}}{2i}}.} Z dwumianu Newtona :
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( i sin x ) n − k − ( cos x ) k ( − i sin x ) n − k 2 i . {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(\cos {x})^{k}(i\sin {x})^{n-k}-(\cos {x})^{k}(-i\sin {x})^{n-k}}{2i}}.} Wyłączając wspólny czynnik:
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( sin x ) n − k i n − k − ( − i ) n − k 2 i {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}{\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}} i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( sin x ) n − k sin ( n − k ) π 2 {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}} Kilka pierwszych wielokrotności:
sin 2 x = 2 cos x sin x , {\displaystyle \sin 2x=2\cos x\sin x,}
sin 3 x = 3 cos 2 x sin x − sin 3 x , {\displaystyle \sin 3x=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x,}
sin 4 x = 4 cos 3 x sin x − 4 cos x sin 3 x , {\displaystyle \sin 4x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x,}
sin 5 x = 5 cos 4 x sin x − 10 cos 2 x sin 3 x + sin 5 x . {\displaystyle \sin 5x=5\cos ^{4}x\sin x-10\cos ^{2}x\sin ^{3}x+\sin ^{5}x.} Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
f ( x ) = 8 cos 3 x sin x − 4 cos x sin x . {\displaystyle f(x)=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x.} Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:
f ( x ) = 8 ( e i x + e − i x 2 ) 3 e i x − e − i x 2 i − 4 e i x + e − i x 2 ⋅ e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle f(x)=8\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{3}{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-4{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.} Po wymnożeniu jest:
f ( x ) = ( e 3 i x + 3 e 2 i x e − i x + 3 e i x e − 2 i x + e − 3 i x ) e i x − e − i x 2 i − 2 e 2 i x − 2 e − 2 i x 2 i {\displaystyle f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+e^{-3ix}){\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}}} i dalej:
f ( x ) = e 4 i x + 3 e 2 i x + 3 + e − 2 i x − e 2 i x − 3 − 3 e − 2 i x − e − 4 i x 2 i − 2 e 2 i x − 2 e − 2 i x 2 i , {\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}+3e^{2ix}+3+e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}},} po skróceniu:
f ( x ) = e 4 i x − e − 4 i x 2 i , {\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}},} dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:
f ( x ) = sin 4 x . {\displaystyle f(x)=\sin 4x.} Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera Obliczyć całkę:
∫ sin 2 x cos 4 x d x . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.} Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
∫ sin 2 x cos 4 x d x = ∫ ( e i x − e − i x 2 i ) 2 ( e 4 i x + e − 4 i x 2 ) d x = − 1 8 ∫ ( e 2 i x − 2 + e − 2 i x ) ( e 4 i x + e − 4 i x ) d x = − 1 8 ∫ ( e 6 i x − 2 e 4 i x + e 2 i x + e − 2 i x − 2 e − 4 i x + e − 6 i x ) d x . = − 1 8 ∫ ( ( e 6 i x + e − 6 i x ) − 2 ( e 4 i x + e − 4 i x ) + ( e 2 i x + e − 2 i x ) ) d x . = − 1 8 ∫ ( 2 cos 6 x − 2 ⋅ 2 cos 4 x + 2 cos 2 x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx={}&\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)-2\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x\right)dx.\end{aligned}}} W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:
∫ sin 2 x cos 4 x d x = − 1 24 sin 6 x + 1 8 sin 4 x − 1 8 sin 2 x + C . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.} Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:
∫ e x cos x d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.} ponieważ cos x {\displaystyle \cos x} jest częścią rzeczywistą e i x {\displaystyle e^{ix}} możemy zapisać
∫ e x cos x d x = Re ∫ e x e i x d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.} Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:
∫ e x e i x d x = ∫ e ( 1 + i ) x d x = e ( 1 + i ) x 1 + i + C . {\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.} A zatem:
∫ e x cos x d x = Re { e ( 1 + i ) x 1 + i } + C = e x Re { e i x 1 + i } + C = e x Re { e i x ( 1 − i ) 2 } + C = e x cos x + sin x 2 + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx={}&\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\,{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}} Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera [6] , w których występują całki postaci ∫ − a a f ( x ) sin n x d x {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\sin nxdx} i ∫ − a a f ( x ) cos n x d x . {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\cos nxdx.}
Tożsamość Eulera
edytuj
Funkcja wykładnicza e z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z /N)N , przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)N ). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)N zbliża się do −1. Zatem e iπ =-1. W szczególności, podstawiając x = π , {\displaystyle x=\pi ,} otrzymuje się równość:
e π i + 1 = 0 , {\displaystyle e^{\pi i}+1=0,} nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera ).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
„Najpiękniejszy wzór”
edytuj
Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym . Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne : dodawanie , mnożenie i potęgowanie . Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych :
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz , co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania , którego prawa strona jest zerem.
Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki n {\displaystyle n} -tego stopnia sumują się do 0 {\displaystyle 0} dla n > 1 : {\displaystyle n>1{:}}
∑ k = 0 n − 1 e 2 π i k n = 0. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.} Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie n = 2. {\displaystyle n=2.} Powyższą równość można zapisać i w postaci:
∑ k = 0 n e 2 π i k n = 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=1.} ponieważ: exp ( 2 π i ) = 1. {\displaystyle \exp(2\pi i)=1.}
Bibliografia
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj