Wzór Eulera

związek funkcji wykładniczej z trygonometrycznymi

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Niech   zaś   jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać[1]:

 

Historia

edytuj

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

 

Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód

edytuj

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje   przyjmują postać[2]:

 
 
 

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

 [3],
 [4],
 [4].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego   gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5].

W szczególności mamy:  

gdzie skorzystaliśmy z tego, że:

  • jeżeli szeregi   oraz   są zbieżne, to zbieżny jest również szereg   oraz:   (addytywność);
  • jeżeli szereg   jest zbieżny, to również szereg   jest zbieżny, oraz   gdzie c jest stałą (jednorodność).

Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia   daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech   będzie dana przez   Wówczas

 

Następnie niech   Wtedy

 

dla każdego   a stąd   jest funkcją stałą. Ponieważ

 

mamy   dla wszystkich   Stąd też   czyli

 

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

edytuj

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:

 

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

 

Po dodaniu stronami:

 
 

Analogicznie otrzymuje się wzór:

 

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie   daje:

 
 

Zastosowanie

edytuj

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że   i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

 
 
 

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

edytuj
Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich   wyrażenia postaci   dają się wyrazić za pomocą samych wartości   i   oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

 

Ze wzoru Eulera:

 

Z dwumianu Newtona:

 

Wyłączając wspólny czynnik:

 

i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie

 

Kilka pierwszych wielokrotności:

 
 
 
 
Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

 

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

 

Po wymnożeniu jest:

 

i dalej:

 

po skróceniu:

 

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

 
Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

 

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

 

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

 
Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

 

ponieważ   jest częścią rzeczywistą   możemy zapisać

 

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

 

A zatem:

 

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[6], w których występują całki postaci   i  

Tożsamość Eulera

edytuj
 
Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+ / N)N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+ / N)N zbliża się do −1. Zatem e=-1.

W szczególności, podstawiając   otrzymuje się równość:

 

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

edytuj

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie

edytuj

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki  -tego stopnia sumują się do   dla  

 

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie   Powyższą równość można zapisać i w postaci:

 

ponieważ:  

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Eulera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-10].
  2. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 129.
  3. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 491.
  4. a b Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 492.
  5. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 482.
  6. Zaporożec 1973 ↓, s. 460–461.

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj