Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci
ln
(
cos
x
+
i
sin
x
)
=
i
x
.
{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.}
Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748 , opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela ).
Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje
e
x
,
sin
x
,
cos
x
{\displaystyle e^{x},\sin x,\cos x}
przyjmują postać[2] :
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
,
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
…
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
,
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
…
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
.
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}
Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:
exp
:
C
→
C
,
exp
z
:=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
[3] ,
sin
:
C
→
C
,
sin
z
:=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin \colon \ \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
[4] ,
cos
:
C
→
C
,
cos
z
:=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}}
[4] .
Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego
z
∈
C
,
{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}
gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5] .
W szczególności mamy:
e
i
z
=
1
+
i
z
+
(
i
z
)
2
2
!
+
(
i
z
)
3
3
!
+
(
i
z
)
4
4
!
+
…
=
(
1
−
z
2
2
!
+
z
4
4
!
−
…
)
+
i
(
z
−
z
3
3
!
+
z
5
5
!
−
…
)
=
cos
z
+
i
sin
z
,
{\displaystyle e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+\ldots =\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\ldots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\ldots \right)=\cos z+i\sin z,}
gdzie skorzystaliśmy z tego, że:
jeżeli szeregi
∑
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n}a_{n}}
oraz
∑
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n}b_{n}}
są zbieżne, to zbieżny jest również szereg
∑
n
(
a
n
+
b
n
)
,
{\displaystyle \sum _{n}(a_{n}+b_{n}),}
oraz:
∑
n
=
0
∞
(
a
n
+
b
n
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
+
∑
n
=
0
∞
b
n
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}
(addytywność );
jeżeli szereg
∑
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n}a_{n}}
jest zbieżny, to również szereg
∑
n
c
a
n
{\displaystyle \sum _{n}ca_{n}}
jest zbieżny, oraz
∑
n
=
0
∞
c
a
n
=
c
∑
n
=
0
∞
a
n
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ca_{n}=c\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},}
gdzie c jest stałą (jednorodność ).
Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia
z
↦
x
∈
R
{\displaystyle z\mapsto x\in \mathbb {R} }
daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
Inne uzasadnienie formuły
Niech
f
:
R
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }
będzie dana przez
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\cos(x)+i\sin(x).}
Wówczas
f
′
(
x
)
=
i
cos
(
x
)
−
sin
(
x
)
=
i
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
=
i
f
(
x
)
.
{\displaystyle f'(x)=i\cos(x)-\sin(x)=i(\cos(x)+i\sin(x))=if(x).}
Następnie niech
g
(
x
)
=
e
−
i
x
f
(
x
)
.
{\displaystyle g(x)=e^{-ix}f(x).}
Wtedy
g
′
(
x
)
=
e
−
i
x
(
f
′
(
x
)
−
i
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=e^{-ix}(f'(x)-if(x))=0}
dla każdego
x
,
{\displaystyle x,}
a stąd
g
{\displaystyle g}
jest funkcją stałą . Ponieważ
g
(
0
)
=
e
−
i
⋅
0
f
(
0
)
=
cos
(
0
)
+
i
sin
(
0
)
=
1
,
{\displaystyle g(0)=e^{-i\cdot 0}f(0)=\cos(0)+i\sin(0)=1,}
mamy
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle g(x)=1}
dla wszystkich
x
.
{\displaystyle x.}
Stąd też
f
(
x
)
=
g
(
x
)
e
i
x
=
e
i
x
,
{\displaystyle f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix},}
czyli
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).}
Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii , dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej . Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań :
{
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
(
−
x
)
+
i
sin
(
−
x
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)\end{cases}}.}
Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
{
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
.
{\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}.}
Po dodaniu stronami:
e
i
x
+
e
−
i
x
=
2
cos
x
,
{\displaystyle e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x,}
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
.
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}
Analogicznie otrzymuje się wzór:
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
.
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}
Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie
x
=
i
y
{\displaystyle x=iy}
daje:
cos
(
i
y
)
=
e
−
y
+
e
y
2
=
cosh
y
,
{\displaystyle \cos(iy)={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,}
sin
(
i
y
)
=
e
−
y
−
e
y
2
i
=
i
sinh
y
.
{\displaystyle \sin(iy)={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\sinh y.}
Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone , ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
,
{\displaystyle \sin x={\tfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
,
{\displaystyle \cos x={\tfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
Sinus kąta zwielokrotnionego
Dla całkowitych dodatnich
n
{\displaystyle n}
wyrażenia postaci
sin
n
x
{\displaystyle \sin nx}
dają się wyrazić za pomocą samych wartości
sin
x
{\displaystyle \sin x}
i
cos
x
{\displaystyle \cos x}
oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:
sin
n
x
=
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
2
i
=
(
e
i
x
)
n
−
(
e
−
i
x
)
n
2
i
.
{\displaystyle \sin nx={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}.}
Ze wzoru Eulera:
sin
n
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
−
(
cos
x
−
i
sin
x
)
n
2
i
.
{\displaystyle \sin nx={\frac {(\cos {x}+i\sin {x})^{n}-(\cos {x}-i\sin {x})^{n}}{2i}}.}
Z dwumianu Newtona :
sin
n
x
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
cos
x
)
k
(
i
sin
x
)
n
−
k
−
(
cos
x
)
k
(
−
i
sin
x
)
n
−
k
2
i
.
{\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(\cos {x})^{k}(i\sin {x})^{n-k}-(\cos {x})^{k}(-i\sin {x})^{n-k}}{2i}}.}
Wyłączając wspólny czynnik:
sin
n
x
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
cos
x
)
k
(
sin
x
)
n
−
k
i
n
−
k
−
(
−
i
)
n
−
k
2
i
{\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}{\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}}
i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie
sin
n
x
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
cos
x
)
k
(
sin
x
)
n
−
k
sin
(
n
−
k
)
π
2
{\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}}
Kilka pierwszych wielokrotności:
sin
2
x
=
2
cos
x
sin
x
,
{\displaystyle \sin 2x=2\cos x\sin x,}
sin
3
x
=
3
cos
2
x
sin
x
−
sin
3
x
,
{\displaystyle \sin 3x=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x,}
sin
4
x
=
4
cos
3
x
sin
x
−
4
cos
x
sin
3
x
,
{\displaystyle \sin 4x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x,}
sin
5
x
=
5
cos
4
x
sin
x
−
10
cos
2
x
sin
3
x
+
sin
5
x
.
{\displaystyle \sin 5x=5\cos ^{4}x\sin x-10\cos ^{2}x\sin ^{3}x+\sin ^{5}x.}
Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
f
(
x
)
=
8
cos
3
x
sin
x
−
4
cos
x
sin
x
.
{\displaystyle f(x)=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x.}
Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:
f
(
x
)
=
8
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
3
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
−
4
e
i
x
+
e
−
i
x
2
⋅
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
.
{\displaystyle f(x)=8\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{3}{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-4{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}
Po wymnożeniu jest:
f
(
x
)
=
(
e
3
i
x
+
3
e
2
i
x
e
−
i
x
+
3
e
i
x
e
−
2
i
x
+
e
−
3
i
x
)
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
−
2
e
2
i
x
−
2
e
−
2
i
x
2
i
{\displaystyle f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+e^{-3ix}){\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}}}
i dalej:
f
(
x
)
=
e
4
i
x
+
3
e
2
i
x
+
3
+
e
−
2
i
x
−
e
2
i
x
−
3
−
3
e
−
2
i
x
−
e
−
4
i
x
2
i
−
2
e
2
i
x
−
2
e
−
2
i
x
2
i
,
{\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}+3e^{2ix}+3+e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}},}
po skróceniu:
f
(
x
)
=
e
4
i
x
−
e
−
4
i
x
2
i
,
{\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}},}
dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:
f
(
x
)
=
sin
4
x
.
{\displaystyle f(x)=\sin 4x.}
Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera
Obliczyć całkę:
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
.
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.}
Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
=
∫
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
2
(
e
4
i
x
+
e
−
4
i
x
2
)
d
x
=
−
1
8
∫
(
e
2
i
x
−
2
+
e
−
2
i
x
)
(
e
4
i
x
+
e
−
4
i
x
)
d
x
=
−
1
8
∫
(
e
6
i
x
−
2
e
4
i
x
+
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
−
2
e
−
4
i
x
+
e
−
6
i
x
)
d
x
.
=
−
1
8
∫
(
(
e
6
i
x
+
e
−
6
i
x
)
−
2
(
e
4
i
x
+
e
−
4
i
x
)
+
(
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
)
)
d
x
.
=
−
1
8
∫
(
2
cos
6
x
−
2
⋅
2
cos
4
x
+
2
cos
2
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx={}&\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)-2\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x\right)dx.\end{aligned}}}
W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
=
−
1
24
sin
6
x
+
1
8
sin
4
x
−
1
8
sin
2
x
+
C
.
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.}
Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej
Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:
∫
e
x
cos
x
d
x
.
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}
ponieważ
cos
x
{\displaystyle \cos x}
jest częścią rzeczywistą
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}}
możemy zapisać
∫
e
x
cos
x
d
x
=
Re
∫
e
x
e
i
x
d
x
.
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.}
Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:
∫
e
x
e
i
x
d
x
=
∫
e
(
1
+
i
)
x
d
x
=
e
(
1
+
i
)
x
1
+
i
+
C
.
{\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}
A zatem:
∫
e
x
cos
x
d
x
=
Re
{
e
(
1
+
i
)
x
1
+
i
}
+
C
=
e
x
Re
{
e
i
x
1
+
i
}
+
C
=
e
x
Re
{
e
i
x
(
1
−
i
)
2
}
+
C
=
e
x
cos
x
+
sin
x
2
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx={}&\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\,{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}
Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera [6] , w których występują całki postaci
∫
−
a
a
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\sin nxdx}
i
∫
−
a
a
f
(
x
)
cos
n
x
d
x
.
{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\cos nxdx.}
Funkcja wykładnicza e z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z /N)N , przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)N ). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)N zbliża się do −1. Zatem e iπ =-1.
W szczególności, podstawiając
x
=
π
,
{\displaystyle x=\pi ,}
otrzymuje się równość:
e
π
i
+
1
=
0
,
{\displaystyle e^{\pi i}+1=0,}
nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera ).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym . Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne : dodawanie , mnożenie i potęgowanie . Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych :
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz , co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania , którego prawa strona jest zerem.
Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki
n
{\displaystyle n}
-tego stopnia sumują się do
0
{\displaystyle 0}
dla
n
>
1
:
{\displaystyle n>1{:}}
∑
k
=
0
n
−
1
e
2
π
i
k
n
=
0.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.}
Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie
n
=
2.
{\displaystyle n=2.}
Powyższą równość można zapisać i w postaci:
∑
k
=
0
n
e
2
π
i
k
n
=
1.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=1.}
ponieważ:
exp
(
2
π
i
)
=
1.
{\displaystyle \exp(2\pi i)=1.}
Piotr Stachura, Wzór i tożsamość Eulera , kanał Khan Academy na YouTube , 7 października 2017 [dostęp 2024-06-23].
Grant Sanderson, Euler’s formula with introductory group theory , kanał 3blue1brown , YouTube , 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-15].
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Euler Formula , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-06-18].
Euler formulas (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].