Otwórz menu główne
Euler's formula.svg
Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera
Ten artykuł dotyczy wzoru Eulera w analizie zespolonej. Zobacz też: inne znaczenia.

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

WzórEdytuj

Niech   zaś   jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać

 

HistoriaEdytuj

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

 

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

DowódEdytuj

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje   przyjmują postać:

 [1],
 [1],
 [1].

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

 [2]
 [3],
 [3].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego   gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[4].

W szczególności mamy:  

gdzie skorzystaliśmy z tego, że jeżeli szeregi   oraz   są zbieżne, to zbieżny jest również szereg   oraz:   a także z tego że jeżeli szereg   jest zbieżny, to również szereg   jest zbieżny, oraz   gdzie c jest stałą. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia   daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech   będzie dana przez   Wówczas

 

Następnie niech   Wtedy

 

dla każdego   a stąd   jest funkcją stałą. Ponieważ

 

mamy   dla wszystkich   Stąd też   czyli

 

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

TrygonometriaEdytuj

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

 

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

 

Po dodaniu stronami:

 
 

Analogicznie otrzymuje się wzór:

 

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie   daje:

 
 

ZastosowanieEdytuj

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że   i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

 
 
 

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

PrzykładyEdytuj

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich   wyrażenia postaci   dają się wyrazić za pomocą samych wartości   i   oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

 

Ze wzoru Eulera:

 

Z dwumianu Newtona:

 

Wyłączając wspólny czynnik:

 

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

 

Kilka pierwszych wielokrotności:

 
 
 
 
Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

 

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

 

Po wymnożeniu jest:

 

i dalej:

 

po skróceniu:

 

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

 
Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

 

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

 

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

 
Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

 

ponieważ   jest częścią rzeczywistą   możemy zapisać

 

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

 

A zatem:

 

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[5], w których występują całki postaci   i  

Tożsamość EuleraEdytuj

 
Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+ / N)N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+ / N)N zbliża się do -1. Zatem e=-1.

W szczególności, podstawiając   otrzymuje się równość:

 

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”Edytuj

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

UogólnienieEdytuj

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki  -tego stopnia sumują się do   dla  :

 

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie   Powyższą równość można zapisać i w postaci:

 

ponieważ:  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 129.
  2. L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 491.
  3. a b L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 492.
  4. L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 482.
  5. G.I. Zaporożec: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej. Warszawa: WNT, 1973, s. 460–461.