Otwórz menu główne

Wzór Herona

wzór na pole trójkąta korzystający z długości jego boków
Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość więc wyrażenie jest równe co powoduje, że

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. to wartość co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc

Spis treści

DowódEdytuj

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta

 

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta  

 

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:

 

  oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

 
 
 
 
 
 

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

 

Postać wyznacznikowaEdytuj

 

Wzór BrahmaguptyEdytuj

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości   wpisanego w okrąg:

 

gdzie:

 

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

 

gdzie   to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180°.

Linki zewnętrzneEdytuj