Wzór Sauerbreya

Wzór Sauerbreya – wyprowadzona w 1959 r. zależność wiążąca częstotliwość oscylacji mikrowagi kwarcowej (QCM) z wielkością obciążającej ją masy.

Wzór ma zastosowanie dla układów pracujących w otoczeniu gazowym, jeśli masa obciążająca mikrowagę jest rozłożona równomiernie na jej powierzchni, wystarczająco sztywna i nie powoduje zmiany częstotliwości większej niż 5%.

Wzór Sauerbreya ma postać:

$\Delta f={\frac {-2\Delta mf_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _{q}}}}}=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A\ \rho _{q}v_{q}}}\Delta m,$

gdzie:

$f_{0}$ – częstotliwość środkowa mikrowagi [Hz],

$\Delta f$ – zmiana częstotliwości środkowej [Hz],

$n$ – numer owertonu ($n=1,2,3...;$ zwykle $n=1$),

$\Delta m$ – zmiana masy [g],

$A$ – aktywna (drgająca) powierzchnia mikrowagi [cm²],

$\rho _{q}$ – gęstość kwarcu ($\rho _{q}$ = 2,648 g/cm³),

$\mu _{q}$ – moduł ścinania dla kwarcu (dla cięcia AT $\mu _{q}$ = 2,947·10¹¹ g·cm⁻¹·s⁻²),

$\nu _{q}$ – prędkość fali poprzecznej w kwarcu [m/s].

Dla większych obciążeń (większych zmian częstotliwości) mikrowagi (ponad 5%) stosuje się inną zależność:

${\frac {\Delta m}{A}}\ ={\frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\ \operatorname {tg} ^{-1}\left[Z\cdot \operatorname {tg} \left(\pi {\frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}\right)\right],$

gdzie:

$f_{L}$ – częstotliwość rezonansowa obciążonej mikrowagi [Hz],

$f_{U}$ – częstotliwość rezonansowa nieobciążonej mikrowagi [Hz],

$N_{q}$ – stała częstotliwościowa (dla kwarcu o cięciu AT wynosi ona w przybliżeniu 1,668·10¹³ Hz·Å),

$\Delta m$ – zmiana masy [g].

$Z={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{f}}}\ \right)}}$

parametry A, $\rho _{q},$ $\mu _{q}$ – jw.

W przypadku umieszczenia mikrowagi w cieczy zmianę jej częstotliwości pod wpływem zmiany masy obciążającej można wyznaczyć ze wzoru Kanazawy.