Wzór Stirlinga

Wzór Stirlinga – wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu wartość silni.

(1)

Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb

Formalnie:

Przybliżona, często używana postać logarytmiczna:

WyprowadzenieEdytuj

Wzór, wraz z precyzyjnym oszacowaniem błędu, może być wyprowadzony następująco. Zamiast przybliżać   weźmy logarytm naturalny

 

Następnie, aby znaleźć przybliżenie wartości   stosujemy wzór Eulera-Maclaurina, podstawiając  

 

gdzie   to liczba Bernoulliego, a   jest resztą wzoru Eulera-Maclaurina.

Dalej z obu stron bierzemy granicę,

 

Niech   równa się powyższej granicy. Łącząc powyższe dwa wzory, dostajemy wzór przybliżony w postaci logarytmicznej:

 

gdzie O(·) to notacja dużego O.

Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą, np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem  

 

Nieznany wyraz   może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy   dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa. Wartością   jest   Otrzymujemy wzór Stirlinga:

 

Wzór może być również wyprowadzony poprzez wielokrotne całkowanie przez części. Wyraz wiodący może być znaleziony poprzez metodę największego spadku.

Szybkość zbieżności i oszacowanie błęduEdytuj

Dokładniej,

 
(2)

przy

 
 
Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów (1) (wersja popularna) oraz (2) (wersja dokładniejsza,  ). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących

Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):

 

Przy   błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego.

Rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywane szeregiem Stirlinga:

 

W tym przypadku błąd, wskutek pominięcia dalszych wyrazów, jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.

Wzór Stirlinga dla funkcji gammaEdytuj

Wzór Stirlinga ma również zastosowanie do funkcji gamma (zobacz funkcje specjalne)

 

zdefiniowanej dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie. Jeśli   to

 

Powtarzane całkowanie przez części daje nam rozwinięcie asymptotyczne

 

gdzie   jest  -tą liczbą Bernoulliego. Wzór jest poprawny dla modułu z   mianowicie   gdzie   jest dodatni. Błąd przybliżenia:

  dla użytych   wyrazów.

Zbieżna postać wzoru StirlingaEdytuj

Wyznaczenie zbieżnej postaci wzoru Stirlinga wymaga oszacowania

 

Jedną z metod jest uśrednianie zbieżnych serii odwróconych rosnących eksponent. Jeśli   wtedy

 

gdzie:

 

Z tego otrzymujemy następującą postać ww. wzoru

 
 

który zbiega, gdy  

HistoriaEdytuj

Wzór został odkryty przez Abrahama de Moivre w postaci

 

Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą   jest   Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet.

Przybliżenie Stirlinga „pierwszego rzędu”,   zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej, na przykład przez Louis de Broglie’a. Dla bardzo dużych   wykres przybliżenia „pierwszego rzędu” wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej, jest prawie równoległy do linii otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła.

Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga „pierwszego rzędu”, jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych   Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności, spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Niestety, do chwili obecnej brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga „pierwszego rzędu” i najnowszymi teoriami fizycznymi.

BibliografiaEdytuj

  • Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm.
  • Paris R.B., Kaminsky D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
  • Whittaker E.T., Watson G.N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ​ISBN 0-521-58807-3​.