Wzór Wallisa

Wzór Wallisa – rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby „szybciej zbieżne”. Wzór Wallisa ma postać:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots ={\frac {\pi }{2}}.$

Wyprowadzenie

Pierwiastki funkcji ${\tfrac {\sin x}{x}}$ są postaci $k\pi ,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:

${\frac {\sin x}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,$

gdzie $k$ jest pewną stałą. Aby znaleźć granicę $k$ zauważamy, że

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \right)=k.$

Korzystając z faktu, iż:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$

otrzymujemy $k=1.$ Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:

${\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\dots ,$

${\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots$

Podstawiając $x={\frac {\pi }{2}}$

${\frac {1}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\ldots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right).$

Ostatecznie:

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots$

Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla $k!,$ jak i dla $2k!,$ można po krótkich obliczeniach zauważyć, że $p_{k}$ zbiega do $\pi /2$ przy $k\to \infty .$

Wykres iloczynów częściowych

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 127–128.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Wallis Formula, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Grant Sanderson, The Wallis product for pi, proved geometrically, kanał 3blue1brown na YouTube, 20 kwietnia 2018 [dostęp 2021-10-03].