Wzór całkowy Cauchy’ego

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Ilustracja do wzoru całkowego Cauchy'ego w analizie zespolonej. Wykonane za pomocą MuPad.

Załóżmy, że $U$ jest zbiorem otwartym zawartym w $\mathbf {C}$ oraz $f\colon U\to \mathbf {C}$ jest funkcją holomorficzną, a koło $D=\{z:|z-z_{0}|\leqslant r\}$ zawiera się w $U.$ Niech $\gamma$ będzie okręgiem tworzącym brzeg $D.$ Wówczas dla każdego $a$ należącego do wnętrza $D$ zachodzi:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz,$

gdzie krzywa $\gamma$ jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia

Rozważmy funkcję

$f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$

oraz kontur $C,$ opisany zależnością: $|z|=2.$

Aby znaleźć całkę $f(z)$ po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji $f(z).$ Funkcję $f$ możemy zapisać:

$f(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$ gdzie $z_{1}=-1+i,\quad z_{2}=-1-i.$

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów $z_{1}$ i $z_{2},$ gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury $C_{1}$ wokół $z_{1}$ oraz $C_{2}$ wokół $z_{2}.$

Zatem w $C_{1}$ zdefiniowana poniżej funkcja $g_{1}$ jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu $z_{2}$).

$g_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}$

dlatego:

$\oint \limits _{C_{1}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}\right)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.$

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

$g_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}$

$\oint \limits _{C_{2}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}\right)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.$

Całka po obszarze $C$ jest sumą dwóch powyższych całek:

${\begin{aligned}\oint \limits _{C}{\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}\,dz&=\oint \limits _{C_{1}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}\right)}{z-z_{1}}}\,dz+\oint \limits _{C_{2}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}\right)}{z-z_{2}}}\,dz\\[1ex]&=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[1ex]&=2\pi i(-2)\\[1ex]&=-4\pi i.\end{aligned}}$

Zobacz też

• Augustin Louis Cauchy
• twierdzenie podstawowe Cauchy’ego