Wzór całkowy Cauchy’ego

twierdzenie analizy zespolonej

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Ilustracja do wzoru całkowego Cauchy'ego w analizie zespolonej. Wykonane za pomocą MuPad.

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym zawartym w oraz jest funkcją holomorficzną, a koło zawiera się w Niech będzie okręgiem tworzącym brzeg Wówczas dla każdego należącego do wnętrza zachodzi[1]:

gdzie krzywa jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia edytuj

Rozważmy funkcję

 

oraz kontur   opisany zależnością:  

Aby znaleźć całkę   po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji   Funkcję   możemy zapisać:

  gdzie  

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów   i   gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury   wokół   oraz   wokół  

Zatem w   zdefiniowana poniżej funkcja   jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu  ).

 

dlatego:

 

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

 
 

Całka po obszarze   jest sumą dwóch powyższych całek:

 

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Cauchy’ego wzór całkowy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-03].