Wzór prostokątów

Wzór prostokątów – metoda pozwalająca przy użyciu pojęcia całki Riemanna obliczyć sumę pól obszarów pod wykresem krzywej w wybranym przedziale całkowania $<x_{a},x_{b}>.$ Przy pomocy sumy pól prostokątów można tę sumę przybliżyć.

Zgodnie z tą metodą należy wykonać kolejno:

• Przedział całkowania $<x_{a},x_{b}>$ dzielimy punktami $x_{i}$ na $n$ równych części. Im większe jest $n$ tym przybliżenie staje się dokładniejsze.

dla $i=1,2\dots ,n$ mamy następujący wzór:

$x_{i}=x_{a}+{\frac {i}{n}}(x_{b}-x_{a}).$

• Obliczamy odległość między kolejnymi punktami podziału. Odległość ta będzie jednocześnie długością podstawy prostokąta.

$dx={\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}$

• Obliczamy wartości funkcji w każdym punkcie podziału:

$f_{i}=f(x_{i})$ dla $i=1,2\dots ,n.$

• Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych funkcji przez odległość $dx$

$S=f_{1}dx+f_{2}dx+\ldots +f_{n}dx$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$S=dx(f_{1}+f_{2}+\ldots f_{n})$

Otrzymana suma jest wartością przybliżoną całki oznaczonej w przedziale całkowania $<x_{a},x_{b}>.$ Zatem otrzymujemy następujący wzór:

${\int \limits _{a}^{b}\,f(x)dx}\ \ {\approx }\ \ {\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}\cdot {\sum \limits _{i=1}^{n}}{f(x_{a}+i{\frac {x_{b}-x_{a}}{n}})}.$

Błąd

Dla funkcji różniczkowalnej $f$ błąd aproksymacji w przedziale $(a,a+\Delta )$ wynosi:

$E_{i}\leqslant {\frac {\Delta ^{2}}{2}}\,f'(\xi )$

dla pewnego $\xi \in (a,a+\Delta ),$ $n=1,2,3,\dots ,n.$

Zsumowanie tych błędów dla $n$ przedziałów daje

$E\leqslant {\frac {n\Delta ^{2}}{2}}f'(\xi )$

Ponieważ $n\cdot \Delta =b-a,$ więc

$E\leqslant {\frac {(b-a)\Delta }{2}}f'(\xi )$

dla pewnego $\xi \in (a,b).$

Zobacz też

• metoda Simpsona
• metody Newtona-Cotesa
• wzór trapezów

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendajew, G. Musioł, H. Muhlig: Nowoczesne kompendium Matematyki. Warszawa: PWN, 2004, s. 981. ISBN 83-01-14148-4.