Wzory Freneta

Wzory Fréneta, wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi krawędzie tzw. trójścianu Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.

Krzywa przestrzenna, wektory T t, N n, B b i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T, N i o wektorze normalnym B.

Zapis wektorowyEdytuj

W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać

 
 
 
 

gdzie[1]:

 parametr naturalny krzywej (długość łuku),
  – wektor wodzący punktu na krzywej,
 wektor styczny,
  – wektor normalnej głównej,
 wektor binormalny,
  – wektor krzywizny,
  – promień krzywizny,
 krzywizna krzywej,
  – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),
 torsja krzywej (druga krzywizna),
 wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.

Z punktem   na krzywej przestrzennej   można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory   Drugi prawoskrętny układ wersorów   jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory

 
 
(1.1)

gdzie:

 
(1.2)

a trzeci jest definiowany[1] wzorem

 
(1.3)

Jeżeli krzywa   leży na płaszczyźnie   o normalnej   to wektor binormalnej   do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i   Płaszczyzna   jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej  

W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.

Na podstawie wzoru (1.1) mamy

 
(1.4)

i różniczkując wzór (1.3), otrzymujemy

 
(1.5)

ponieważ   i   są kolinearne. Ponadto z (1.5) wynika, że   a ponieważ również  

więc

 
(1.6)

gdzie   jest torsją krzywej w punkcie   określoną wzorem (1.8).

Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru  

 
(1.7)

Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi  

x y z
       
       
       

Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej[1].

     
       
       
       

Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru (1.6) po uwzględnieniu (1.1) i (1.5)

 
(1.8)

dzięki temu, że  

Torsja   określona w dowolnym punkcie   krzywej   wzorem   stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu   Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu   jest płaska, bez zwichrowania.

Zapis parametrycznyEdytuj

Dana jest krzywa przestrzenna   opisana parametrycznie równaniami[2]

 
(1)

Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty     odpowiadające dwom wartościom   parametru   Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem

 
(2)

Dzieląc mianowniki przez   i przechodząc do granicy   otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej   w punkcie  

 
(3)

gdzie przez   oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie  

Równanie o postaci (3) jest konsekwencją kolinearności wektorów   i  

Równanie płaszczyzny normalnej   (prostopadłej) do krzywej w punkcie   można zapisać w postaci[2] iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie  

 
(4)

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej   do krzywej w punkcie   zapiszemy w postaci

 
(5)

Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne   takiego wektora   który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej  

Rozważmy równanie takiej płaszczyzny   na której leży styczna i która

  • przechodzi przez punkt   – a zatem każdy jej wektor   jest prostopadły do  
 
(6)

oraz

  • każdy wektor   leżący na płaszczyźnie   jest prostopadły do  
 
(7)

Wektor   jest również prostopadły do wektora stycznego   który leży na  

 
(8)

Wykorzystując wzór Taylora zamiast (7), możemy napisać

 
(9)

gdzie  

Po uwzględnieniu (8) i (9) otrzymujemy

 
(10)

Można teraz z (8) i (10) wyznaczyć niewiadome   i na podstawie (6) otrzymuje się, po przejściu do granicy  

 
(11)

Tak więc wektor   prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne

 
(12)

Przez punkt   krzywej   przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta[3]:

  • ściśle styczna (o wektorze normalnym  ) – równanie (5) i (12),
  • normalna (o wektorze normalnym  ) – równanie (4),
  • prostująca (o wektorze normalnym  ) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać
 
(13)

Wektor   jest prostopadły do obydwu wektorów   i   i dlatego muszą być spełnione dwa równania

 
(14)
 
(15)

Rozwiązanie równań (13) i (15) ma postać wzorów

 
(16)

Krawędziami trójścianu Freneta są proste:

  • styczna – o wersorze   i równaniu (3),
  • normalna główna – o wersorze   i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem
 
(17)
  • binormalna – o wersorze   i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem
 
(18)

Zachodzą przy tym następujące tożsamości

  (lub  ),
(19)
  (lub  ).
(20)
  • Krzywizna i torsja krzywej

Płaszczyzna normalna do krzywej   w jej punkcie   opisana jest równaniem

 
(21)

gdzie   jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie  

Przecina ona normalną główną (17) w punkcie   o współrzędnych

 
(22)

Po podstawieniu (22) do (21) i uwzględnieniu (15) otrzymujemy wartość parametru

 
(23)

określającą położenie punktu   na kierunku normalnej głównej.

Po podzieleniu licznika i mianownika przez   i po przejściu do granicy   otrzymujemy

 
(24)

Gdy punkt   dąży do punktu   punkt   dąży do punktu   o współrzędnych

 
(25)

Po wykorzystaniu tożsamości (19) otrzymujemy

 
(26)

Punkt o współrzędnych (25) nazywany jest środkiem krzywizny krzywej   w jej punkcie   Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej   o współrzędnych   jest krzywa   zwana ewolutą krzywej  

Odległość punktu   od punktu   jest tak zwanym promieniem krzywizny   krzywej w jej punkcie   Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów (25) po uwzględnieniu tożsamości (20)

 
 
(27)

Krzywiznę krzywej określa wzór

 
(28)

Krzywizna   nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny   nazywanej torsją krzywej. Torsja   jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor

 
 
 
(29)

dzięki któremu torsję   można zdefiniować wzorem

 
(30)

przy czym

 
(31)

dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a

 
(32)

Na podstawie (31) i dzięki temu, że   otrzymujemy

 
(33)

PrzykładyEdytuj

1. Elipsa

 
 
 
 
 
 
 
 
   -  ponieważ  

2. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej:  

 
 
 
 
 
 
 
   -  ponieważ  

3. Spirala na walcu kołowym, linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu   Spirala jest prawoskrętna wokoło osi  

 
 
 
 

gdzie   jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny   kołowego przekroju walca,

 
 
 

stąd

 
 
 
 
 

4. Parabola płaska

 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Parabola przestrzenna

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że   Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej  

6. Spirala Archimedesa

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Spirala stożkowa – krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Spirala na walcu eliptycznym – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Cykloida

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wzory Freneta w Edytuj

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że   opisuje gładką krzywą w   sparametryzowaną przez długość łuku   oraz że pierwsze   pochodnych   jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa   nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze   (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach  

W szczególności, jednostkowy wektor styczny   jest pierwszym wektorem układu Freneta  

 

Wektor normalny   czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako

 

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta   i jest zdefiniowany jako

 

Wektor styczny i normalny w punkcie   definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie  

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

 

Funkcje o wartościach rzeczywistych   zdefiniowane jako:

 

są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol   oznacza iloczyn skalarny wektorów   i  

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:

  dla  

W języku macierzy wyglądają tak:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t. 2, Гос. Издат. технико-теоретичесҝой литературы, Мосҝва-Ленинград 1951.
  2. a b F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.
  3. Trójścian Fréneta, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].

BibliografiaEdytuj