Wzory Viète’a

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.

Wzory Viète’aEdytuj

Niech   będą pierwiastkami wielomianu   o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

 

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim   pierwiastków.

PrzykładyEdytuj

Wielomian liniowyEdytuj

W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych)   wzory sprowadzają się do postaci:

 

Trójmian kwadratowyEdytuj

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych)   wzory te przyjmują postać:

 

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego   wówczas oczywiście oba pierwiastki   są zespolone nierzeczywiste.

Wielomian stopnia trzeciegoEdytuj

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci   o pierwiastkach   wzory te mają postać:

 

DowódEdytuj

Przypadek funkcji kwadratowejEdytuj

Niech   będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej   Wówczas

 
 
 

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

 

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólnyEdytuj

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

 

(która jest prawdziwa, gdyż   są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

 

czyli

 


BibliografiaEdytuj

  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra – podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Warszawa: PWN, 1976, s. 244.

Linki zewnętrzneEdytuj