Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową wyrażeń postaci $(a\pm b)^{n},\ (a\pm b\pm \dots )^{n}$ oraz $a^{n}\pm b^{n},$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy

Wzory z zastosowaniem kwadratu liczby

Kwadrat sumy:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$

Kwadrat różnicy:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.$

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc,$

$(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc,$

$(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc,$

$(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc.$

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np. $(a-b-c+d)^{2}=(a+(-b)+(-c)+d)^{2}.$

Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.

Dla dowolnej liczby składników: $\left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{2}=\sum \limits _{i=1}^{k}\sum \limits _{j=1}^{k}a_{i}a_{j}.$

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnica kwadratów:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).$

Analogicznie zbudowana suma $a^{2}+b^{2}$ nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi),$ gdzie $i$ to jednostka urojona.

Wzór na różnicę kwadratów można uogólnić wprowadzając trzecią zmienną:

$(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac$

Inne wykładniki

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

Sześcian różnicy:

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.$

Suma sześcianów:

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).$

Różnica sześcianów:

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).$

Tożsamość Sophie Germain:

$a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2}).$

Różnica czwartych potęg:

$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}).$

$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{2}+b^{2})(a+b)$

Suma piątych potęg:

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}).$

Różnica piątych potęg:

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).$

Wzory ogólne

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$ (dwumian Newtona)

$(a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

$\left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{n}=\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{k}=0}^{n}{n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}\prod \limits _{i=1}^{k}a_{i}^{m_{i}},$ gdzie ${n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}={\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}m_{i}!}}$

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +ab^{n-2}+b^{n-1})$

$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-\dots -ab^{2n-1}+b^{2n})$

Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.