Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową wyrażeń postaci oraz gdzie jest liczbą naturalną.
Wzory z zastosowaniem kwadratu liczbyEdytuj
Kwadrat sumy[1]:
Kwadrat różnicy:[1]
Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:
Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.
Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.
Dla dowolnej liczby składników:
Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.
Różnica kwadratów:[1]
Analogicznie zbudowana suma nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:
- gdzie to jednostka urojona.
Wzór na różnicę kwadratów można uogólnić wprowadzając trzecią zmienną:
Inne wykładnikiEdytuj
Sześcian sumy:[1]
Sześcian różnicy:[1]
Suma sześcianów:[1]
Różnica sześcianów:[1]
Tożsamość Sophie Germain:
Różnica czwartych potęg:
Suma piątych potęg:
Różnica piątych potęg:
Wzory ogólneEdytuj
- (dwumian Newtona)
- gdzie
Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.
PrzypisyEdytuj
- ↑ a b c d e f g Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .