Wzory skróconego mnożenia

tożsamości algebraiczne opisujące potęgi sum i różnic oraz sumy i różnice potęg

Wzory skróconego mnożenia – zestaw tożsamości algebraicznych zawierających wyrażenia takie jak:

  • potęgi skończonych sum i różnic: ;
  • sumy i różnice potęg:
Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy:

gdzie wykładnik jest liczbą naturalną. Najprostsze przykłady to te dla wykładnika dwa[1]:

  • kwadrat sumy i różnicy:
  • różnica kwadratów:

Wzory te zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych, zespolonych i wszystkich innych pierścieni przemiennych[potrzebny przypis], ponieważ wynikają z podstawowych własności działań jak przemienność, łączność i rozdzielność. Przykładowe zastosowania tych równości to[2]:

Wzory skróconego mnożenia to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo znalazły się one w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym[5].

Wykładnik dwa – wzory z kwadratami edytuj

Kwadraty sumy i różnic edytuj

 
Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy trzech liczb rzeczywistych

Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi[6][1]:

 

Przykład zastosowań arytmetycznych[2][7]:

 
 
 
 

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech[4]:

 

Wzór ten można stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Po prawej stronie wzoru wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników[potrzebny przypis]:

 

Różnice można przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.  

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnice i sumy kwadratów edytuj

 
Graficzne uzasadnienie wzoru na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych:  

Różnica kwadratów dwóch liczb to iloczyn sumy tych liczb i ich różnicy[1][6]:

 

Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika[2]:

 

Analogiczna suma   nie rozkłada się na wyrażenia rzeczywiste, jednak można rozłożyć ją na iloczyn liczb zespolonych[potrzebny przypis]:

  gdzie   to jednostka urojona.

Wykładnik trzy – wzory z sześcianami edytuj

 
Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy i różnicy[6][1]:

 

Suma i różnica sześcianów[6][1]:

 

Wyższe wykładniki edytuj

Różnica czwartych potęg[8]:

 

Tożsamość Sophie Germain[potrzebny przypis]:

 

Suma piątych potęg:

 

Różnica piątych potęg:

 

Wzory ogólne edytuj

Potęgi sum i różnic edytuj

Potęga naturalna sumy dwóch składników to szczególny przypadek dwumianu Newtona[8]:

 
 

Potęga naturalna sumy dowolnej skończonej liczby składników to[potrzebny przypis]:

 

gdzie  

Sumy i różnice potęg edytuj

Różnica dwóch potęg tego samego stopnia naturalnego to[8]:

 

Oprócz tego[potrzebny przypis]:

 

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. a b c d e skróconego mnożenia wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-07].
  2. a b c   Paweł Kwiatkowski i Witold Sadowski, Wzory skróconego mnożenia. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-07].
  3.   Szymon Charzyński, Rozpoznawanie kwadratu dwumianu w trójmianie kwadratowym, kanał Khan Academy na YouTube, 26 kwietnia 2016 [dostęp 2023-12-08].
  4. a b   Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
  5.   Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08].
  6. a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0.
  7.   Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Zadania, zadania generatorowe, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
  8. a b c   Wzory skróconego mnożenia, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2023-12-08].