Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową wyrażeń postaci oraz gdzie jest liczbą naturalną.

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy

Wzory z zastosowaniem kwadratu liczbyEdytuj

Kwadrat sumy:[1]

 

Kwadrat różnicy:[1]

 

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

 
 
 
 

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.  

Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.

Dla dowolnej liczby składników:  

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnica kwadratów:[1]

 

Analogicznie zbudowana suma   nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:

  gdzie   to jednostka urojona.

Inne wykładnikiEdytuj

 
Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy:[1]

 

Sześcian różnicy:[1]

 

Suma sześcianów:[1]

 

Różnica sześcianów:[1]

 

Tożsamość Sophie Germain:

 

Różnica czwartych potęg:

 
 

Suma piątych potęg:

 

Różnica piątych potęg:

 

Wzory ogólneEdytuj

  (dwumian Newtona)
 
  gdzie  
 
 

Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f g Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0.