Otwórz menu główne

Spis treści

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe obiektu w obiekt zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie podzbioru „identycznego” z obiektem

Teoria kategoriiEdytuj

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].

Teoria mnogościEdytuj

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru   w zbiór   jest funkcja różnowartościowa  

Zbiór   można wtedy utożsamić ze zbiorem   gdzie  

TwierdzenieEdytuj

Jeśli dla zbiorów   i   istnieją zanurzenia

  i  

to istnieje funkcja różnowartościowa   że

 [2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód

Można założyć, że   jest podzbiorem   a funkcja   realizuje to zawieranie. Niech   będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

 

Niech   Wtedy   oraz  

Funkcja

 

jest bijekcją, bo

 
 

skąd wynika, że   jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

 

skąd wynika, że   jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)[3].

TopologiaEdytuj

Topologia ogólnaEdytuj

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni   w przestrzeń   nazywa się odwzorowanie   takie że przestrzeń   jest homeomorficzna ze swoim obrazem  

PrzykładyEdytuj

  • Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamknięta zwyczajna (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni   Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni   znajdując odwzorowanie różnowartościowe   (zanurzenie), takie że obrazem okręgu   jest pewna krzywa  
  • W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

 
Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowaEdytuj

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni   w przestrzeń   jest dyfeomorfizm  

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkichEdytuj

Zwarta  -wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości   (tzn.   razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową   o wymiarze   Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa  [5].

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metrycznaEdytuj

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej   w przestrzeń metryczną   jest izometria  

AlgebraEdytuj

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grupEdytuj

Homomorfizm   grupy multiplikatywnej   w grupę multiplikatywną   jest zanurzeniem, jeśli  

PrzykładyEdytuj

  • Grupę   obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych  
 
gdzie   dla kąta  

Grupę   można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej  

Teoria ciałEdytuj

Teoria pierścieniEdytuj

Teoria modułówEdytuj

  • Niech   będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym   w   jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech   będzie modułem nad pierścieniem   Na iloczynie kartezjańskim   można określić relację równoważności „ ”:
  ⇔ dla pewnego   zachodzi równość  

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je   a ich zbiór modułem ułamków   Podobnie można określić pierścień ułamków   Zbiór   jest modułem nad pierścieniem   Wtedy jeśli

  jest zanurzeniem modułu   w moduł  

to odwzorowanie

 

jest zanurzeniem   i  [11].

PrzypisyEdytuj

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 280–283.
  2. Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 12–13.
  3. Janusz Kaja, O twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
  4. Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228–241.
  5. Pontriagin, op. cit., s. 21–22.
  6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. J. Browkin, op. cit., s. 65.
  8. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
  9. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
  10. Zamkniętość   względem mnożenia oznacza, że   jeśli  
  11. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.)

BibliografiaEdytuj

  • Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Л.С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
  • J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  • S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
  • М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.)