Zasada najmniejszego działania

fundamentalne prawo fizyki

Zasada najmniejszego działania Hamiltonazasada wariacyjna służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Zasada ta została podana przez Williama R. Hamiltona w 1834 roku[1] i stanowi jedną z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa).

Działanie Hamiltona edytuj

Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii   w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, łączącej punkt   w chwili   z punktem   w chwili   nazywamy całkę z funkcji Lagrange’a danego układu fizycznego, tj.

 

Działanie zależy od trajektorii   wzdłuż której się je liczy.

Przykład edytuj

Dla cząstki swobodnej w przestrzeni   funkcja Lagrange’a jest po prostu równa energii kinetycznej

 

gdzie:

 

Na podstawie zasady Hamiltona (patrz niżej) można wyprowadzić równanie Eulera-Lagrange’a, które jest równaniem ruchu cząstki o takiej funkcji Lagrange’a – w tym wypadku otrzyma się równanie Newtona w postaci

 

Zasada Hamiltona edytuj

 
Gdy układ porusza się, to punkt q opisujący jego stan w przestrzeni konfiguracyjnej kreśli trajektorię. Spośród wielu możliwych trajektorii łączących dane punkty (q1, t1) oraz (q2, t2) (niebieskie linie) rzeczywista trajektoria układu (czerwona) daje ekstremum działania (δS = 0) – niewielkie zmiany δq tej trajektorii nie zmieniają działania.

Zasada Hamiltona głosi, że:

Rzeczywisty układ fizyczny porusza się po trajektorii, dla której działanie Hamiltona przyjmuje wartość stacjonarną (tj. minimum, maksimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu działania rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące zadany punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie.

Jeżeli punkty te leżą blisko siebie, to działanie ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania).

Jednak w ogólności zasada Hamiltona jest zasadą stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie   nie zmieni się w pierwszym rzędzie, a to oznacza, że działanie ma wartość stacjonarną, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie się pochodnej oznacza przyjęcie przez funkcję wartości stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegięcia).

Inaczej mówiąc, zasada Hamiltona oznacza, że wariacja działania przyjmuje wartość równą zeru

 

Zasada Hamiltona prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.

Podejście teleologiczne a determinizm edytuj

Zasada najmniejszego działania wydaje się być przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego: układ porusza się między dwoma punktami tak, by zrealizować pewien cel (tu: sprawiać, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest równoważna równaniom Eulera-Lagrange’a (choć nie w każdych warunkach), te zaś stanowią układ równań różniczkowych, które implikują deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.

Inne zasady wariacyjne edytuj

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Hamiltona zasada, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-01-05].

Bibliografia edytuj