Otwórz menu główne

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Spis treści

DefinicjeEdytuj

Podstawowa konstrukcjaEdytuj

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego   liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych   takich że

    zbiór   jest sumą   rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór   to odcinek  

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek  ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór   tak, że jest sumą   rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia  ). Każdy z   odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru   wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc   (gdzie   to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór   jest sumą   rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek   jest spełniony).
 
Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg   jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

 

Alternatywna definicjaEdytuj

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

 

gdzie   Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału   dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcjiEdytuj

 
Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach pył Cantora (5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym  

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory   tak że każdy z nich jest sumą   rozłącznych odcinków domkniętych długości   Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory   wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na   ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych   tak, że każdy zbiór   jest sumą   rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

 

Następnie, przypuśćmy że zbiór   jest już wyznaczony i jest on sumą   rozłącznych odcinków domkniętych,   W centrum każdego z odcinków   wybieramy otwarty pododcinek   długości   Kładziemy  

 
Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

 

Podstawowe właściwościEdytuj

Trójkowy zbiór Cantora  

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

 

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału   Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora   ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy  

Zbiór Cantora w szerszym sensieEdytuj

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru CantoraEdytuj

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ​ISBN 1-55786-106-4​, s. 121.